I sistemi di secondo grado

Risoluzione di sistemi di due equazioni in due incognite

Un sistema di secondo grado costituito da unequazione di secondo grado e una di primo grado; infatti, il grado complessivo del sistema dato dal prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.

Come si procede per risolvere i sistemi di secondo grado? Si risolve per prima cosa lequazione di primo grado, rispetto ad una delle incognite, poi si sostituisce nellequazione di secondo grado lincognita trovata.

Supponiamo di aver trovato x dallequazione di primo grado, e di averla sostituita in quella di secondo grado; co troviamo ad avere unequazione in y, detta equazione risolvente; si possono presentare due casi:

• lequazione risolvente di secondo grado: le soluzioni del sistema dipendono dal delta dellequazione:
  
  • se ( Delta lt 0 ) lequazione impossibile, e quindi lintero sistema impossibile;
  • se ( Delta = 0 ) lequazione ha due soluzioni coincidenti; si sostituisce il valore di y nellaltra equazione, determinando il valore di x; si dice che il sistema ha una soluzione doppia;
  • se ( Delta gt 0 ) lequazione ha due soluzioni distinte: si sostituiscono nellaltra equazione, uno alla volta, i valori di y, trovando i rispettivi valori di x: il sistema ha quindi due soluzioni;
• lequazione di primo grado, della forma ( ay = b ):
  
  • se lequazione determinata, quindi ( a
    e 0 ), si risolve, trovando il valori di y e sostituendolo poi nellaltra equazione; il sistema ha quindi una soluzione;
  • se lequazione indeterminata, o impossibile, il sistema risulta, rispettivamente, indeterminato o impossibile;

Esempio: risolviamo il seguente sistema:

( egin{cases} 3x = y + 2 \ x^2 - xy + y^2 = 36 + xy end{cases} )

dobbiamo ricavare una delle due incognite dalla equazione di primo grado; per semplicit dei calcoli, troviamo y; nella seconda equazione, intanto, trasportiamo tutti i termini contenti le incognite al primo membro:

( egin{cases} 3x = y + 2 \ x^2 - xy + y^2 = 36 + xy end{cases}
ightarrow egin{cases} y = 3x - 2 \ x^2 - 2xy + y^2 = 36 end{cases} )

prima di procedere con i calcoli, notiamo che nella seconda equazione presente un quadrato del binomio svolto, che possiamo raccogliere, poi sostituiamo il valore di y trovato:

( egin{cases} y = 3x - 2 \ (x-y)^2 = 36 end{cases}
ightarrow egin{cases} y = 3x - 2 \ (x - 3x + 2)^2 - 36 = 0 end{cases} )

procediamo con i calcoli, e troviamo il valore di x:

( egin{cases} y = 3x - 2 \ (-2x + 2)^2 - 36 = 0 end{cases}
ightarrow egin{cases} y = 3x - 2 \ 4x^2 - 8x + 4 - 36 = 0 end{cases} )

( egin{cases} y = 3x - 2 \ 4x^2 -8x - 32 = 0 end{cases}
ightarrow egin{cases} y = 3x - 2 \ x^2 - 2x - 8 = 0 end{cases} )

Risolviamo lequazione di secondo grado in x:

( x^2 - 2x - 8 = 0
ightarrow x = frac{1 pm sqrt{1+8}}{1} = 1 pm 3 )

( x = 1 + 3 vee x = 1 - 3
ightarrow x = 4 vee x = -2 )

Sostituiamo i valori di x trovati alla prima equazione del sistema:

( x = 4
ightarrow y = 3 cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10 )

( x = -2
ightarrow y = 3 cdot (-2) - 2 = -6 - 2 = -8 )

In sistema, quindi, ha due soluzioni, che sono le seguenti:

( egin{cases} x = 4 \ y = 10 end{cases}
ightarrow egin{cases} x = -2 \ y = -8 end{cases} )

Sistemi simmetrici

Un sistema in due incognite si dice simmetrico se formato da equazioni simmetriche, cio equazioni in due incognite tale che, scambiando tra loro le incognite, lequazione rimane invariata.

In questi particolari sistemi, anche le soluzioni sono simmetriche: infatti, se una coppia ordinata (a ; b) soluzione del sistema, lo anche la coppia ordinata (b ; a).

Risoluzione

Un sistema simmetrico di secondo grado in due incognite si dice ridotto in forma canonica o normale se del tipo:

( egin{cases} x + y = s \ xy = p end{cases} )

e s e p sono due numeri reali.

La risoluzione di questi sistemi si pu ricondurre al caso in cui si devono trovare due numeri di cui si conosce la somma e il prodotto; possiamo creare unequazione associata al sistema di questo tipo:

( t^2 - st + p = 0 )

Le soluzioni del sistema dipendono dal discriminante di questa equazione:

• se ( Delta gt 0 ) lequazione associata ha due soluzioni distinte, che sono anche soluzione del sistema: [ egin{cases} x = t_1 \ y = t_2 end{cases} vee egin{cases} x = t_2 \ y = t_1 end{cases} ]
• se ( Delta = 0 ) lequazione associata ha due soluzioni coincidenti; in questo caso, anche il sistema ha una soluzione doppia: [ egin{cases} x = t_1 \ y = t_ 1end{cases} ]
• se ( Delta lt 0 ) lequazione associata impossibile, e anche il sistema impossibile.

Esempio: risolviamo il seguente sistema simmetrico: [ egin{cases} x+y = 3sqrt{3} \ xy = 6 end{cases} ]

dobbiamo determinare due numeri tali che la loro somma sia uguale a ( 3 sqrt{3} ) , e il loro prodotto sia uguale a 6; lequazione che dobbiamo risolvere quindi la seguente:

( t^2 - (x+y)t +xy = 0 )

(t^2 - 3sqrt{3}t + 6 = 0 )

determiniamo i valori di t:

( t = frac{3sqrt{3}pm sqrt{(3sqrt{3})^2-4cdot 6}}{2} = frac{3sqrt{3}pmsqrt{27-24}}{2} = frac{3sqrt{3}pmsqrt{3}}{2} )

( t_1 = frac{3sqrt{3}+sqrt{3}}{2} = frac{4sqrt{3}}{2} = 2sqrt{3} )

( t_2 = frac{3sqrt{3}-sqrt{3}}{2} = frac{2sqrt{3}}{2} = sqrt{3} )

Quindi, le soluzioni del sistema sono:

( egin{cases} x = sqrt{3} \ y = 2sqrt{3} end{cases} ,,,, , ,,,, egin{cases} x = 2sqrt{3} \ y =sqrt{3} end{cases} )