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di _stan
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In quest'appunto troverai un excursus sulle equazioni parametriche e su come definire i parametri in relazione a determinate condizioni da soddisfare.

Cosa sono le equazioni parametriche

Le equazioni parametriche sono equazioni letterali in cui si deve determinare il valore dei parametri che verificano certe condizioni, senza risolvere l'equazione stessa.
In quest'appunto analizzeremo alcune condizioni particolari e valuteremo gli step da compiere per calcolare i parametri necessari in maniera corretta.

Come calcolare i parametri di un'equazione parametrica in modo che questa abbia due soluzioni

in questo caso, non ci viene specificato se le soluzioni devono essere uguali o distinte, l'importante è che siano due.
Sappiamo che un'equazione di secondo grado ammette soluzioni se il discriminante
[math]\delta[/math]
è maggiore o uguale a zero. Per questo motivo, basterà imporre
[math]\delta=b^2-4ac \ge 0 [/math]

Come calcolare i parametri nel caso di due soluzioni distinte

Nel caso precedente, in cui dovevamo garantire l'esistenza di due soluzioni, abbiamo posto
[math]\delta \ge 0 [/math]
, ora dobbiamo escludere il caso in cui le soluzioni siano coincidenti. Per questo motivo:
[math]\delta=b^2-4ac > 0[/math]

Come calcolare i parametri di un'equazione in modo che non abbia soluzioni reali

Per imporre la condizione di non esistenza di soluzioni reali bisogna agire sul discriminante. In particolare:
[math]\delta=b^2-4ac

Come calcolare i parametri di un'equazione in modo che le sue radici siano coincidenti

Anche in questo caso, si agisce sul discriminante. Se le radici sono coincidenti, si ha:
[math]\delta=b^2-4ac=0[/math]

Come calcolare i parametri in modo che una radice sia uguale a un numero h

Consideriamo un'equazione di secondo grado ridotta in forma normale. Sappiamo che, se un numero è soluzione dell'equazione, sostituendolo all'incognita dell'equazione otteniamo che il primo membro sia uguale a zero. Quindi, per trovare il valore del parametro, basterà sostituire il numero dato alla
[math]x[/math]
dell'equazione e risolvere la stessa in funzione del parametro.

Il prodotto delle radici sia uguale a un numero h

Come già sappiamo, il prodotto delle radici di un'equazione di secondo grado, nei coefficienti
[math]a,b,c[/math]
, può essere espresso come
[math]x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}[/math]
.
Se vogliamo che questa espressione sia uguale a un numero
[math]h[/math]
, poniamo
[math] \frac{c}{a} = h [/math]
.

La somma delle radici sia uguale a un numero h

Sappiamo che la somma delle radici di un'equazione di secondo grado, nei coefficienti
[math]a,b,c[/math]
può essere espresso come
[math]x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} [/math]
.
Se vogliamo che questa espressione sia uguale ad un numero
[math]h[/math]
, poniamo:
[math] -\frac{b}{a} = h [/math]
.

Come calcolare i parametri in modo che le radici siano opposte

In questo caso, possiamo sfruttare la formula che rappresenta la somma delle radici: infatti, se le radici sono opposte si ha che:
[math] x_1 = -x_2 \rightarrow x_1 + x_2 = 0 [/math]
. Quindi basta porre:
[math] -\frac{b}{a} = 0 [/math]
.

Come calcolare i parametri in modo che le radici siano reciproche

Se le radici sono reciproche si ha
[math] x_1 = \frac{1}{x_2} [/math]
, quindi:
[math]
x_1 = \frac{1}{x_2}
\rightarrow x_1 \cdot x_2 = 1
\rightarrow \frac{c}{a} = 1 [/math]

Come calcolare i parametri in modo che una radice sia opposta al reciproco dell'altra

Dall'enunciato deduciamo che deve essere:
[math] x_1 = -\frac{1}{x_2} [/math]
. Quindi, moltiplicando otteniamo:
[math] x_1 = -\frac{1}{x_2} [/math]
.
[math]\rightarrow x_1 \cdot x_2 = -1
\rightarrow \frac{c}{a} = -1 [/math]

Come calcolare i parametri in modo che la somma dei quadrati delle radici sia uguale ad un numero

In questo caso, ci viene richiesto di calcolare i quadrati delle radici e poi di sommarli, e di far in modo che questa somma sia uguale ad una certa quantità
[math] x_1^2 + x_2^2 = h [/math]
.
Ricordando lo sviluppo del quadrato del binomio abbiamo che:
[math](x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 [/math]
.
Ricaviamo da questa formula la somma dei quadrati delle radici:
[math] x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 [/math]
.
Poniamo ora questa quantità uguale ad
[math]h[/math]
:
[math] (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = h [/math]
.
Quindi, tradotto in termini di coefficienti:
[math] (-\frac{b}{a})^2 - 2 \cdot \frac{c}{a} = h [/math]
.

Come calcolare i parametri in modo che la somma dei cubi delle radici sia uguale ad un numero h

Procediamo come per la somma dei quadrati delle radici: ricaviamo la somma delle radici dallo sviluppo del cubo di un binomio:

[math] (x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1^2x_2 - 3x_1x_2^2

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2 (x_1 + x_2)[/math]

Poichè la somma dei cubi delle radici deve essere uguale ad

[math]h[/math]
, abbiamo:

[math] x_1^3 + x_2^3 = h
\rightarrow (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2 (x_1 + x_2) = h
\-frac{b}{a}^3 - 3\cdot \frac{c}{a} \cdot -\frac{b}{a} = h [/math]

Esempio: calcolo dei coefficienti di un'equazione parametrica

Consideriamo l'equazione parametrica seguente:
[math] x^2 - (k+1)x + k = 0 [/math]

Determiniamo i valori di

[math]k[/math]
affinchè:
  • le radici siano coincidenti
  • la somma delle radici sia
    [math]\sqrt2[/math]
  • la somma dei reciproci delle radici sia 4
  • una radice sia nulla
  • le radici siano opposte
  • la somma dei quadrati delle radici sia 10

Svolgimento dell'esercizio

  • Se le radici sono coincidenti, dobbiamo porre
    [math]\delta = 0[/math]
    , quindi
    [math] \delta = 0
    \rightarrow b^2 - 4ac = 0 [/math]
    . Sostituiamo i coefficienti alle lettere e semplifichiamo l'espressione:
    [math] -(k+1)^2 - 4k = 0
    k^2 + 1 + 2k - 4k = 0
    k^2 + 1 - 2k = 0 [/math]
    L'espressione ottenuta è il quadrato di un binomio, quindi si ha:
    [math] (k-1)^2 = 0
    \rightarrow k = 1 [/math]

  • Calcoliamo la somma delle radici e poniamo la quantità ottenuta uguale a due:

    [math] x_1 + x_2 = 2
    \rightarrow -\frac{b}{a} = \sqrt2 [/math]
    . Sostituiamo i valori e risolviamo l'equazione:

    [math] -\frac{-(k+1)}{1} = \sqrt2
    \rightarrow k + 1 = \sqrt2
    \rightarrow k = \sqrt2 - 1 [/math]

  • Calcoliamo la somma dei reciproci delle radici:
    [math]\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} [/math]
    .

    Poniamolo uguale a 4 e sostituiamo i coefficienti:

    [math]\frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} = 4 [/math]
    [math] \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = 4
    \rightarrow -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = 4
    \rightarrow -\frac{b}{c} = 4 [/math]

  • Se una radice è nulla, sappiamo che sostituendo zero alla
    [math]x[/math]
    dell'equazione dobbiamo ottenere un'uguaglianza vera, cioè il primo membro deve essere uguale a zero.
    [math] 0^2 - (k+1) \cdot 0 + k = 0
    \rightarrow k = 0 [/math]

  • Affinchè le radici siano opposte, poniamo:
    [math] x_1 = -x_2
    \rightarrow x_1 + x_2 = 0 [/math]
    quindi:
    [math] -\frac{b}{a} = 0
    \rightarrow - \frac{-(k+1)}{1} = 0
    \rightarrow k = -1 [/math]

  • Poniamo la somma dei quadrati uguale a 10
    [math]x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10 [/math]
    e sostituiamo i coefficienti:

    [math](-\frac{b}{a})^2 - 2 \cdot \frac{c}{a} = 10
    (k+1)^2 - 2 \cdot \frac{k}{1} = 10
    \rightarrow k^2 + 1 + 2k - 2k = 10
    \rightarrow k^2 + 1 = 10
    k^2 + 1 = 10
    \rightarrow k^2 = 9
    \rightarrow k = \pm 3 [/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni parametriche vedi anche qua

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