Le equazioni parametriche

Le equazioni parametriche sono equazioni letterali in cui si deve determinare il valore dei parametri che verificano determinate condizioni, senza risolvere l’equazione stessa.

Vediamo alcune condizioni che possono essere richieste, e come si deve fare per soddisfarle; si può chiedere di determinare il valore del parametro affinché:

  • l’equazione abbia due soluzioni:

in questo caso, non ci viene specificato se le soluzioni devono essere uguali o distinte, l’importante è che siano due; sappiamo che un’equazione di secondo grado ammette soluzioni se il suo delta è maggiore o uguale a zero, quindi basterà imporre: \[ \Delta 0 \rightarrow b^2 – 4ac \ge 0 \]

  • l’equazione abbia due soluzioni distinte:

nel caso precedente, in cui dovevamo garantire l’esistenza di due soluzioni, abbiamo posto ∆ ≥ 0, ora dobbiamo escludere il caso in cui le soluzioni siano coincidenti, quindi: \[ \Delta \gt 0 \rightarrow b^2 -4ac \gt 0 \]

  • l’equazione non abbia soluzioni reali:

un’equazione che non ammette soluzioni reali è impossibile, quindi ha \( \Delta \lt 0 \): \[ \Delta \lt 0 \rightarrow b^2 – 4ac \lt 0 \]

  • le radici siano coincidenti:

se le radici sono coincidenti si ha: \[ \Delta = 0 \rightarrow b^2 – 4ac = 0 \]

  • una radice sia uguale ad un numero h:

consideriamo un’equazione di secondo grado ridotta in forma normale; sappiamo che se un numero è soluzione dell’equazione, se lo sostituiamo all’incognita dell’equazione otterremmo che il promo membro è uguale a zero; quindi, per trovare il valore del parametro, basterà sostituirà il numero dato alla x dell’equazione, e risolvere la stessa in funzione del parametro.

  • il prodotto delle radici sia uguale ad un numero h:

come già sappiamo, il prodotto delle radici di un’equazione di secondo grado, nei coefficienti a,b,c, può essere espresso come \( c / a \): \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \]

se vogliamo che questa espressione sia uguale ad un numero h, poniamo: \[ \frac{c}{a} = h \]

  • la somma delle radici sia uguale ad un numero h:

sappiamo che la somma delle radici di un’equazione di secondo grado, nei coefficienti a,b,c, può essere espresso come  \( -b / a \): \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]

se vogliamo che questa espressione sia uguale ad un numero h, poniamo: \[ -\frac{b}{a} = h \]

  • le radici siano opposte:

in questo caso, possiamo sfruttare la formula che rappresenta la somma delle radici: infatti, se le radici sono opposte si ha che: \[ x_1 = -x_2 \rightarrow x_1 + x_2 = 0 \]

quindi, basta porre: \[ -\frac{b}{a} = 0 \]

  • le radici siano reciproche:

se le radici sono reciproche si ha: \[ x_1 = \frac{1}{x_2} \]

quindi: \[ x_1 = \frac{1}{x_2} \rightarrow x_1 \cdot x_2 = 1 \rightarrow \frac{c}{a} = 1 \]

  • una radice sia opposta al reciproco dell’altra:

dall’enunciato deduciamo che deve essere: \( x_1 = -\frac{1}{x_2} )

quindi, moltiplicando otteniamo: \[ x_1 = -\frac{1}{x_2} \rightarrow x_1 \cdot x_2 = -1 \rightarrow \frac{c}{a} = -1 \]

  • la somma dei quadrati delle radici sia uguale ad un numero h:

in questo caso, ci viene richiesto di calcolare i quadrati delle radici, e poi di sommarli, e di far in modo che questa somma sia uguale ad una certa quantità: \[ x_1^2 + x_2^2 = h \]

Ricordando lo sviluppo del quadrato del binomio, abbiamo che: \[ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 \]

ricaviamo da questa formula la somma dei quadrati delle radici: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \]

poniamo ora questa quantità uguale ad h: \[ (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = h \]

Quindi, tradotto in termini di coefficienti: \[ \Big(-\frac{b}{a}\Big)^2 – 2 \cdot \frac{c}{a} = h \]

  • la somma dei cubi delle radici sia uguale ad un numero h:

procediamo come per la somma dei quadrati delle radici: ricaviamo la somma dei cubi delle radici dallo sviluppo del cubo di un binomio:

\[ (x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 \]

\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 – 3x_1^2x_2 – 3x_1x_2^2 \]

\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 – 3x_1x_2 (x_1 + x_2) \]

Poiché la somma dei cubi delle radici deve essere uguale ad h, abbiamo:

\[ x_1^3 + x_2^3 = h \rightarrow (x_1 + x_2)^3 – 3x_1x_2 (x_1 + x_2) = h \]

\[ \Big(-\frac{b}{a}\Big)^3 – 3\cdot \frac{c}{a} \cdot \Big(-\frac{b}{a}\Big) = h \]

 

Vediamo un esempio pratico:

consideriamo l’equazione parametrica seguente: \[ x^2 – (k+1)x + k = 0 \]

Determiniamo i valori di k affinché:

a) le radici siano coincidenti;

b) la somma delle radici sia \( \sqrt{2} \);

c) la somma dei reciproci delle radici sia 4;

d) una radice sia nulla;

e) le radici siano opposte;

f) la somma dei quadrati delle radici sia 10;

 

Svolgimento dell’esercizio

a) se le radici sono coincidenti, dobbiamo porre \( \Delta = 0\), quindi: \[ \Delta = 0 \rightarrow b^2 – 4ac = 0 \]

sostituiamo i coefficienti alle lettere e semplifichiamo l’espressione:

\[ [-(k+1)]^2 – 4k = 0 \]

\[ k^2 + 1 + 2k – 4k = 0 \]

\[ k^2 + 1 – 2k = 0 \]

L’espressione ottenuta è il quadrato di un binomio, quindi si ha: \[ (k-1)^2 = 0 \rightarrow k = 1 \]

b) calcoliamo la somma delle radici e poniamo la quantità ottenuta uguale a due:

\[ x_1 + x_ 2 = 2 \rightarrow -\frac{b}{a} = \sqrt{2} \]

sostituiamo i valori e risolviamo l’equazione:

\[ – \frac{-(k+1)}{1} = \sqrt{2} \rightarrow k + 1 = \sqrt{2} \rightarrow k = \sqrt{2} – 1 \]

c) calcoliamo la somma dei reciproci delle radici:

\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} \]

Poniamolo uguale a 4:

\[ \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2} = 4 \]

sostituiamo i coefficienti:

\[ \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = 4 \rightarrow  -\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{c} = 4 \rightarrow -\frac{b}{c} = 4 \]

d) se una radice è nulla, sappiamo che sostituendo zero alla x dell’equazione dobbiamo ottenere un’uguaglianza vera, cioè il primo membro deve essere uguale a zero:

\[ 0^2 – (k+1) \cdot 0 + k = 0 \rightarrow k = 0 \]

e) affinché le radici siano opposte, poniamo:

\[ x_1 = -x_2 \rightarrow x_1 + x_2 = 0 \]

quindi:

\[ -\frac{b}{a} = 0 \rightarrow – \frac{-(k+1)}{1} = 0 \rightarrow k = -1 \]

f) poniamo la somma dei quadrati uguale a 10:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = 10 \]

sostituiamo i coefficienti e risolviamo:

\[ \Big(-\frac{b}{a}\Big)^2 – 2 \cdot \frac{c}{a} = 10 \]

\[ (k+1)^2 – 2 \cdot \frac{k}{1} = 10 \rightarrow k^2 + 1 + 2k – 2k = 10 \rightarrow k^2 + 1 = 10 \]

\[ k^2 + 1 = 10 \rightarrow k^2 = 9 \rightarrow k = \pm 3 \]

 

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