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di _stan
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Somma e prodotto delle radici

Consideriamo una generica equazione di secondo grado:

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c = 0 [/math]

e supponiamo che ammetta soluzioni, cioè che si abbia

[math] \displaystyle \delta \ge 0[/math]
; allora, essa avrà due soluzioni che sono:

[math] \displaystyle x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \, \, \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, \, \, x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/math]

Sommiamo le due soluzioni:

[math] \displaystyle x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = [/math]

[math] \displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}+(-b)-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a} [/math]

Ora calcoliamo il loro prodotto:

[math] \displaystyle x_1\cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = [/math]

[math] \displaystyle \frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} [/math]

Se consideriamo l'equazione di secondo grado generica, e dividiamo ciascun membro dellequazione per a otteniamo:

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c = 0 \rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 [/math]

Notiamo che il secondo coefficiente è uguale all'opposto della somma delle radici, e il terzo uguale al loro prodotto; possiamo generalizzare dicendo che:

in ogni equazione di secondo grado con il primo coefficiente uguale a 1, si ha che la somma delle radici è uguale all'opposto del secondo coefficiente, e che il prodotto delle radici è uguale al terzo coefficiente:

[math] \displaystyle x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 \cdot x_2 = 0 [/math]

Si può anche scrivere l'equazione come

[math] \displaystyle x^2 - sx + p = 0[/math]

indicando con s la somma delle radici, e con p il loro prodotto; il trinomio che compare al primo membro viene detto trinomio notevole.

Un trinomio di secondo grado può essere scomposto in fattori, e la scomposizione dipende dal numero di radici che esso ammette; come abbiamo già detto, un'equazione di secondo grado può avere due, una o nessuna soluzione, in base al suo

[math] \displaystyle \delta[/math]
:
  • se
    [math] \displaystyle \delta \lt 0[/math]
    l'equazione risulta impossibile, quindi il trinomio di secondo grado non è scomponibile (è irriducibile);
  • se
    [math] \displaystyle \delta \gt 0[/math]
    , l'equazione ammette due soluzioni distinte, quindi il trinomio di secondo grado è scomponibile; la scomposizioni in fattori del trinomio è la seguente:
    [math] \displaystyle ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) [/math]
  • se
    [math] \displaystyle \delta = 0[/math]
    sappiamo che l'equazione ammette due soluzioni coincidenti, quindi il trinomio è scomponibile e presenta nella scomposizione il quadrato di un binomio:
    [math] \displaystyle ax^2 +bx + c = a(x - x_1)(x - x_1) = a(x - x_1)^2 [/math]

Regola di Cartesio

La regola di Cartesio ci permette di determinare i segni delle radici di un'equazione di secondo grado senza risolvere l'equazione, ma semplicemente osservando i segni dei coefficienti.

La regola di Cartesio si basa sulla permanenza e sulla variazione del segno dei coefficienti: si ha una permanenza del segno quando due coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno, e una variazione quando hanno segno opposto.

Consideriamo ora una generica equazione di secondo grado:

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c = 0 [/math]

Consideriamo il primo coefficiente, a, positivo: se fosse negativo, infatti, potremmo renderlo positivo moltiplicando entrambi i membri per - 1.

Schematizziamo tutti i casi che possono presentarsi:


Regola di Cartesio

Esaminiamo caso per caso:

  • primo caso:
    [math] \displaystyle a \gt 0, b \gt 0, c \gt 0[/math]
    : abbiamo che
    [math] \displaystyle c/a \gt 0[/math]
    , mentre
    [math] \displaystyle - b/a \lt 0[/math]
    , quindi:
    [math] \displaystyle x_1 \cdot x_2 \gt 0 \, \, \, \mbox{ e }
    \, \, \, x_1 + x_2 \lt 0 [/math]
poiché il prodotto delle radici è positivo, le radici sono concordi; e dato che la loro somma è negativa, concludiamo che sono entrambe negative:
[math] \displaystyle x_1 \lt 0 \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, x_2 \lt 0 [/math]
  • secondo caso:
    [math] \displaystyle a \gt 0, b \lt 0, c \lt 0[/math]
    : abbiamo che
    [math] \displaystyle c/a \lt 0[/math]
    , mentre
    [math] \displaystyle - b/a \gt 0[/math]
    , quindi:
    [math] \displaystyle x_1 \cdot x_2 \lt 0 \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, x_1 + x_2 \gt 0 [/math]
poiché il prodotto delle radici è negativo, le radici sono discordi; la loro somma è positiva, quindi la radice maggiore (in valore assoluto) sarà positiva, l'altra negativa:
[math] \displaystyle x_1 \lt 0 \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, x_2 \gt 0 \, \, \, (\mbox{ con } |x_1| \lt x_2) [/math]
  • terzo caso:
    [math] \displaystyle a \gt 0, b \lt 0, c \gt 0[/math]
    : abbiamo che
    [math] \displaystyle c/a \gt 0 [/math]
    , e
    [math] \displaystyle - b/a \gt 0 [/math]
    , quindi:
    [math] \displaystyle x_1 \cdot x_2 \gt 0 \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, x_1 + x_2 \gt 0 [/math]
poiché il prodotto delle radici è positivo, le radici sono concordi; e dato che la loro somma positiva, concludiamo le radici che sono entrambe positive:
[math] \displaystyle x_1 \gt 0 \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, x_2 \gt 0 [/math]
  • quarto caso:
    [math] \displaystyle a \gt 0, b \gt 0, c \lt 0[/math]
    : abbiamo che
    [math] \displaystyle c/a \lt 0), e (- b/a \lt 0[/math]
    , quindi:
    [math] \displaystyle x_1 \cdot x_2 \lt 0 \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, x_1 + x_2 \lt 0 [/math]
poiché il prodotto delle radici è negativo, le radici sono discordi; la loro somma è negativa, quindi la radice maggiore (in valore assoluto) sar positiva, l'altra positiva:
[math] \displaystyle x_1 \gt 0 \, \, \, \mbox{ e } \, \, \, x_2 \lt 0 \, \, \, \, \, \, (\mbox{con } |x_1| \lt x_2) [/math]

Possiamo riassumere la regola di Cartesio in questo modo:

in ogni equazione di secondo grado, ridotta in forma normale, con il discriminante positivo o nullo, ad ogni variazione dei segni dei coefficienti corrisponde una soluzione positiva, e ad ogni permanenza una soluzione negativa; inoltre, se lequazione ha radici discordi e se la variazione precede la permanenza, la radice maggiore in valore assoluto positiva, mentre se la permanenza precede la variazione essa negativa.

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