_stan
di _stan
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Le equazioni differenziali del secondo ordine sono quelle in cui compare una relazione tra una variabile indipendente
[math] x [/math]
, una funzione incognita
[math] y [/math]
, la sua derivata
[math] y' [/math]
e la sua derivata
[math] y'' [/math]
.

Tra le equazioni differenziali del secondo ordine vi sono quelle a coefficienti costanti, cioè quelle del tipo:

[math] y'' + ay' + by = p(x) [/math]

dove,

[math] a [/math]
e
[math] b [/math]
sono costanti mentre
[math] p(x) [/math]
, detto termine noto, una funzione continua in un opportuno intervallo.

Nel caso in cui

[math] p(x) [/math]
sia nulla, l'equazione assume la forma:
[math] y'' + ay' + by = 0 [/math]

e viene definita equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti.

Equazioni differenziali del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti

Vediamo come possiamo risolvere le equazioni differenziali del tipo
[math] y'' + ay' +by = 0 [/math]

Per determinare l'integrale generale, si comincia risolvendo rispetto all'incognita ausiliare k, l'equazione caratteristica della equazione:

[math] k^2 + ak + b = 0 [/math]

che una semplice equazione algebrica di secondo grado, che si ottiene sostituendo

[math] k [/math]
alla funzione
[math] y [/math]
, in modo che il grado di
[math] k [/math]
sia uguale all'ordine della derivata di
[math] y [/math]
.

Distinguiamo tre casi, in base al segno del discriminante dell'equazione:

  • 1 caso :
    [math] \Delta > 0 [/math]
    : In questo caso, l'equazione in
    [math] k [/math]
    ammette due radici reali distinte, che chiamiamo
    [math] k_1 [/math]
    e
    [math] k_2 [/math]
    ; l'integrale generale dell'equazione differenziale lineare omogenea di partenza si ottiene in questo modo:
    [math] y = c_1 \cdot e^{k_1x} + c_2 \cdot e^{k_2x} [/math]
    dove,
    [math] c1 [/math]
    e
    [math] c2 [/math]
    sono due costanti arbitrarie.
  • 2 caso:
    [math] \Delta = 0 [/math]
    : In questo caso, l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, e si ha in particolare:
    [math] k_1 = k_2 = -\frac{a}{2} [/math]
    L'integrale dell'equazione differenziale lineare omogenea di partenza quindi:
    [math] y = e^{-\frac{a}{2}x} (c_1 + c_2 \cdot x) [/math]
  • 3 caso:
    [math] \Delta \lt 0 [/math]
    : In questo caso, l'equazione caratteristica non ammette radici reali ma due soluzioni complesse coniugate
    [math] \alpha \pm i\beta \,\,\,\,\, \text{ con }\,\,\,\,\, \alpha = -\frac{a}{2}\,\,\, , \,\,\, \beta = \frac{\sqrt{4b-a^2}}{2} [/math]
L'integrale dell'equazione differenziale lineare omogenea di partenza è dato quindi dalla seguente funzione:
[math] y = e^{\alpha x} (c_1 \cdot \cos \beta x + c_2 \cdot \sin \beta x) [/math]

Esempio:
Risolviamo la seguente equazione differenziale:

[math] y'' - 7y' + 12y = 0 [/math]

Determiniamo l'equazione caratteristica, sostituendo

[math] k [/math]
alla funzione incognita
[math] y [/math]
e uguagliando l'esponente
[math] k [/math]
con l'ordine di
[math] y [/math]
:

[math] k^2 - 7k + 12 = 0 [/math]

Determiniamo le soluzioni di questa equazione:

[math] k = \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \rightarrow k_1 = 4, k_2 = 3 [/math]

Poiché il discriminante è positivo, e abbiamo ottenuto due soluzioni reali distinte, ci troviamo nel primo caso, applicando la formula vista precedentemente, determiniamo l'integrale generale dell'equazione differenziale:

[math] y = c_1 e^{3x} + c_2 e^{4x} [/math]

Equazioni differenziali del secondo ordine lineari non omogenee a coefficienti costanti

Le equazioni differenziali del secondo ordine lineari non omogenee a coefficienti costanti sono equazioni differenziali della forma:
[math] y'' + ay' + by = p(x) [/math]

dove

[math] p(x) [/math]
è una funzione continua in un intervallo opportuno ed è non nulla.

Si definisce equazione differenziale lineare omogenea associata alla precedente lequazione della forma:

[math] y'' + ay' + by = 0 [/math]

che si ottiene dalla prima ponendo uguale a zero il secondo membro.

Definiamo l'integrale generale dell'equazione associata il seguente:

[math] Y(x; c_1; c_2) [/math]

Supponiamo di conoscere un qualsiasi integrale particolare

[math] q(x) [/math]
dell'equazione differenziale di partenza.
Con queste ipotesi, l'integrale generale di tale equazione è espresso da:
[math] y = Y(x; c_1; c_2) + q(x) [/math]

Notiamo quindi che, la ricerca dell'integrale generale di un'equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti è ridotta alla determinazione di un suo integrale particolare: infatti, se conosciamo tale integrale, baster sommarlo all'integrale generale dell'equazione omogenea associata per calcolare l'integrale generale dell'equazione differenziale di partenza.

Esempio di equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea

[math] y'' - y = e^x [/math]

Prima risolviamo l'equazione omogenea associata

[math] y'' -y = 0 [/math]

Equazione caratteristica associata

[math] k^2 - 1 = 0 [/math]

Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono

[math] k = \pm 1 [/math]

L'integrale dell'equazione omogenea

[math] y = c_1 e^x + c_2 e^{-x} [/math]

Ora cerchiamo un integrale particolare della equazione non omogenea.

Poich il termine noto

[math] e^x [/math]
cerchiamo una soluzione del tipo
[math] q(x) = Axe^x [/math]
con
[math] A [/math]
costante da determinare.

Per determinare la costante

[math] A [/math]
, calcoliamone la derivata seconda e sostituiamo tutto nell'equazione assegnata.

[math] q(x) = Axe^x \rightarrow [/math]

[math] q'(x) = Ae^x + Axe^x \rightarrow [/math]

[math] q''(x) = Ae^x + Ae^x + Axe^x = 2Ae^x + Axe^x [/math]

Sostituendo nell'equazione di partenza si ha

[math] 2A^x + Axe^x - Axe^x = e^x [/math]

Da cui si ottiene che

[math] A=1/2 [/math]
.

[math] q(x) = \frac{1}{2} xe^x [/math]

L'integrale generale allora

[math] y = c_1e^x + c_2e^{-x} + \frac{1}{2}xe^x [/math]
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