Introduzione
In matematica compaiono spesso uguaglianze di espressioni, alcune delle quali sono universali, cioè sono vere per qualsiasi valore delle incognite (in questo caso si parla di identità) come per esempio nel caso dei prodotti notevoli:
mentre altre valgono solo per alcuni valori delle lettere che vi compaiono, come:
alcune uguaglianze, poi, risultano essere sempre false:
Definiamo, quindi, un'equazione come un'uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più lettere.
Definizioni
- Le espressioni che si trovano a sinistra e a destra del simbolo di uguaglianza vengono definiti primo membro e secondo membro; questi possono essere scambiati per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza;
- Se compare una sola lettera nell'uguaglianza, essa viene definita incognita;
- se compaiono più lettere nell'uguaglianza, una o più di esse è unincognita, altre possono essere lettere definite parametri;
- Le incognite sono le lettere di cui ci è ignoto il valore: risolvere un'equazione significa determinare il valore delle incognite che verificano l'equazione;
- I parametri sono dei numeri noti di cui per non è specificato il valore (possono anche non essere presenti).
Classificazione delle equazioni
In base alle loro componenti, le equazioni possono essere suddivise per tipologia; se nell’equazione sono presenti dei parametri, l’equazione viene definita letterale, altrimenti l’equazione si dice numerica. Un’equazione può essere intera, o frazionaria, nel caso in cui compaiano delle incognite al denominatore.
Ecco uno schema che riassume la classificazione delle equazioni:
Soluzioni di un'equazione in una incognita
Consideriamo solo equazioni in un’incognita che, generalmente, viene indicata con x. Sostituendo un numero al posto di un’incognita, l’equazione si trasforma in un’uguaglianza tra due espressioni numeriche; questa uguaglianza può essere vera o falsa.Le soluzioni (o radici) di un’equazione lineare in un’incognita sono quei numeri che, sostituiti al posto dell’incognita, trasformano l’equazione in un’uguaglianza vera.
Si dice anche che i numeri soddisfano o verificano l’equazione data.
Consideriamo l’equazione
Sostituendo allequazione il numero 3 abbiamo:
Quindi, l'equazione è verificata, e 3 è soluzione.
Insieme delle soluzioni di un'equazione in una incognita
Risolvere un'equazione in una incognita significa determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione; tale insieme viene generalmente indicato con S, ed è un insieme di numeri reali.In base alla composizione di S, l'equazione viene definita determinata, indeterminata o impossibile.
- un'equazione si dice determinata se l'insieme delle soluzioni contiene un numero finito di elementi.
Esempio di equazione determinata
L'equazione
Poiché
- Un'equazione si dice impossibile se non ha soluzioni, cioé se sostituendo qualsiasi numero all'equazione si ottiene un'uguaglianza falsa; se, cioé, l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto;
Esempio di equazione impossibile
Consideriamo l'equazione
notiamo che sostituendo qualsiasi valore alla x, l'uguaglianza non sarà mai verificata; l'equazione è pertanto impossibile.
- Un'equazione si dice indeterminata se l'insieme delle soluzioni contiene un numero infinito di elementi, cioé se le soluzioni dell'equazione sono infinite.
Esempio di equazione indeterminata
Consideriamo lequazione che deriva dallo sviluppo del quadratodel binomio:
Notiamo che, in questo caso, quando sostituiamo valori alla x, otteniamo sempre un'uguaglianza vera, per qualsiasi valore che viene sostituito. L'equazione ha quindi infinite soluzioni, ed è pertanto indeterminata.
Si può anche scrivere:
