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di _stan
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Risoluzione delle equazioni numeriche intere

Vediamo alcuni passaggi che si eseguono per risolvere un'equazione numerica intera nell'incognita x.
  • Per prima cosa, si eseguono le eventuali operazioni indicate e, eventualmente, si eliminano i denominatori, se presenti. Dopo aver svolto tali passaggi, nei due membri dell'equazione compariranno dei polinomi nell'incognita x, o delle costanti;
  • Poi, si trasportano tutti i monomi contenenti l'incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo;
  • Si sommano gli eventuali termini simili;
  • A questo punto, al secondo membro comparir un numero, mentre al primo membro avremmo due casi possibili:
    • Dopo la riduzione dei termini simili, può comparire un monomio di primo grado in x, cioè un espressione del tipo ax, con a diverso da zero. In questo caso, si ha un'equazione di primo grado;
    • Dopo la riduzione dei termini simili, rimane zero, cioè tutti i termini al primo membro si elidono; in questo caso, diciamo che al primo membro si ha un'espressione del tipo ax, con a=0;
  • Abbiamo quindi un'equazione nella forma ax=b;consideriamo separatamente i due casi visti in precedenza:
    • Se a diverso da zero, dividiamo per a entrambi i membri dell'equazione, e ricaviamo in questo modo la soluzione (in questo caso, l'equazione determinata):
      [math] ax = b \rightarrow \frac{ax}{a} = \frac{b}{a} \rightarrow x = \frac{b}{a}
      [/math]
    • Se a=0, l'equazione della forma
      [math]0 \cdot x = b[/math]
Dato che non possibile dividere per zero, non si può procedere come in precedenza; inoltre, poiché qualsiasi numero moltiplicato per 0 da sempre zero, l'equazione si riduce sempre alla forma 0=b.
Distinguiamo ora due casi:
  • Se anche b zero, l'uguaglianza diventa 0=0, ed quindi vera; l'equazione quindi indeterminata, perché qualsiasi valore di x soddisfa questa uguaglianza;
  • Se invece b diverso da zero, l'uguaglianza 0=b falsa per qualsiasi valore di x: l'equazione pertanto impossibile.
Vediamo uno schema riassuntivo per ricordare i diversi casi:

Schema riassuntivo delle equazioni numeriche intere

Equazioni numeriche frazionarie

Quando ci occupiamo delle equazioni frazionarie, cioè quelle equazioni in cui compare l'incognita anche al denominatore, dobbiamo tenere presente che potrebbero esserci alcuni valori della x che rendono l'equazione priva di significato, che possono cioè annullare i denominatori.

Definiamo quindi dominio di un'equazione in una incognita l'insieme dei numeri reali che, sostituiti al posto dell'incognita, trasformano l'equazione in una uguaglianza dotata di significato e che, quindi, è o vera o falsa.

Teniamo presenti alcune regole:

  • Nel caso delle equazioni frazionarie in una incognita, il dominio costituito dall'insieme dei numeri reali privato i quei valori della x che rendono l'equazione priva di significato;
  • Se il dominio di un'equazione non viene specificato, si considera come dominio l'intero insieme dei numeri reali (questo anche il caso delle equazioni intere in una incognita);
Quando risolviamo un'equazione e troviamo delle soluzioni, dobbiamo sempre verificare che esse appartengano al dominio della stessa, altrimenti non possiamo accettarle.
Per questo motivo, al posto del dominio si possono indicare le condizioni cui devono soddisfare le eventuali soluzioni; queste condizioni vengono dette condizioni di accettabilità, e si indicano: C.A.

Terzo principio di equivalenza delle equazioni

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione di dominio D per una stessa espressione, contenente l'incognita x, che abbia significato del dominio e che non si annulli per alcun valore di x appartenente a D, si ottiene un'equazione che, nel dominio, equivalente all'equazione data.

Risoluzione di un'equazione numerica frazionaria

Vediamo ora il procedimento per risolvere un'equazione numerica frazionaria:
  • Si scompongono in fattori i denominatori dell'equazione, se possibile;
  • Si scrivono le condizioni di accettabilità, o si esplicita il dominio dell'equazione;
  • Si riducono entrambi i membri dell'equazione allo stesso denominatore;
  • Si eliminano i denominatori, moltiplicando entrambi i membri per il denominatore comune;
  • si risolve l'equazione intera così ottenuta;
  • Delle soluzioni ottenute, si considerano solo quelle che soddisfano le condizioni di accettabilità, cioè quelle che appartengono al dominio.

Altre risorse utili

  • Esercizi svolti sulle equazioni con verifica

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