Il pendolo di Kater

Leonardo Latella IL PENDOLO DI KATER

RICHIAMI TEORICI SUL PENDOLO SEMPLICE

Un pendolo semplice è costituito da un filo inestensibile di lunghezza e massa

trascurabile a cui è appeso un punto materiale di massa . Esso può oscillare attorno a

m

un pu

n

to fisso O detto polo. In ogni istante le forze agenti sulla massa sono il peso

ϑ

= e la tensione del filo . Se il filo forma un angolo con la verticale, la

T

P mg

componente della forza peso lungo il filo controbilancia la tensione del filo stesso, mentre

la componente della forza peso perpendicolare al filo funge da forza di richiamo e produce

il moto oscillatorio del pendolo. Il momento risultante di tale forza rispetto al polo O è

ϑ

= −

= × in modulo M mg sin

M mg

Dove il “-“ sta ad indicare che si tratta di un momento di richiamo.

i i

i

ω ϑ

= = 2

Dato che eguagliando le due espressioni si ottiene

M I m ii

ϑ ϑ

= −

2

m mg sin

g

ω ϑ ϑ

=

da cui considerando che e approssimando (per piccole oscillazioni)

sin

ii

ϑ ω ϑ

+ =

2

si ottiene (*) 0

⎛ ⎞

g

ϑ ϑ ϑ

= +

⎜ ⎟

'

avente come soluzione generale .

( ) cos

t t

⎜ ⎟

M ⎝ ⎠

π

2 π

= =

Il periodo delle oscillazioni è pari a . Dalla relazione inversa è possibile

T 2

ω g π 2

4

=

calcolare l’accelerazione di gravità g 2

T

RICHIAMI TEORICI SUL PENDOLO COMPOSTO

A differenza del pendolo semplice il pendolo composto è costituito da un corpo rigido

libero di ruotare attorno ad un asse fisso non passante per il centro di massa.

Considerando le forze agenti e trascurando ogni forma di attrito, si ottengono, come nel

caso precedente, le equazioni ii

ϕ

=

M I

ϕ rappresenta l’angolo compreso tra l’asse di rotazione e la retta congiungente il

dove

polo con il centro di massa del corpo, e ϕ

= − sin

M mgd

dove indica la distanza tra il polo O e il centro di massa (G).

d ϕ ϕ

Eguagliando le due espressioni e considerando piccole oscillazioni ( ) si ottiene

sin

ii

ii mgd

ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + =

da cui 0

I mgd I

mgd

ω =

per analogia con la (*) sarà I π

2 I

π

= =

quindi il periodo delle oscillazioni è dato da (*) .

T 2

ω mdg

Confrontando le espressioni del periodo del pendolo semplice e del pendolo composto, si

vede che il periodo del pendolo composto è quello che avrebbe un pendolo semplice di

I

=

lunghezza . Questa lunghezza viene detta “lunghezza ridotta” del pendolo

md

composto.

PENDOLO DI KATER

Calcolare il valore di g utilizzando la (*) può risultare complesso in quanto non è sempre

facile determinare il valore di . Per questo motivo il geodeta inglese Henry Kater vissuto

I

tra il 1777 ed il 1835, sfruttando il teorema degli assi paralleli di Huygens-Steiner, costruì

un nuovo tipo di pendolo che gli permise di eguagliare ad un'espressione di dati

I

facilmente quantificabili. Il pendolo che ideò è noto come pendolo reversibile o di Kater

che è un particolare tipo di pendolo composto. Esso è costituito da un asta al fondo della

quale è appesa una massa fissa mentre una massa mobile può essere spostata lungo

l’asta. Il corpo nel suo insieme è in grado di oscillare intorno a due diversi assi individuati

dai poli O e O’ distanti tra di loro . Lo spostamento della massa mobile comporta una

variazione del momento di inerzia (che è calcolato rispetto all’asse di rotazione) del corpo

e una conseguente variazione del periodo di oscillazione.

Kater dimostrò che trovando la posizione della massa libera per la quale il periodo di

oscillazione attorno ad un asse fosse stato uguale a quello ottenuto girando il pendolo e

facendolo oscillare attorno all'altro asse, si riesce ad ottenere una stima della pulsazione

ω indipendente da . Infatti ottenuta la condizione di uguaglianza tra i periodi si può

I

dedurre che la pulsazione del moto del pendolo sia uguale e indipendentemente da quale

asse costituisca il punto di oscillazione.

Indichiamo con e le distanze degli assi di rotazione dal centro di massa ( ) del

h h ' G

+ =

pendolo tali che .

h h '