Area di un poligono e poligoni equicomposti

Una superficie piana è l’insieme dei punti del piano delimitati da una o più linee, che costituiscono il contorno della superficie.

L’area di una superficie è intesa come la classe di equivalenza, rispetto alla relazione di equiestensione, della superficie data, cioè l’insieme di tutte le superfici equiestese ad essa.

In particolare, due figure si dicono equiestese se hanno la stessa estensione superficiale, o semplicemente la stessa estensione.

La relazione di equiestensione è una relazione di equivalenza, perché:

  • ogni figura è equiestesa a se stessa (proprietà riflessiva);
  • se una figura F è equiestesa ad una figura E, anche la figura E è equiestesa alla figura F (proprietà simmetrica);
  • se due figure sono equiestese ad una terza, sono anche equiestese fra loro (proprietà transitiva).

 

Poligoni confinanti

Somma di poligoni confinanti

Due poligoni si dicono confinanti se hanno in comune solo punti dei loro perimetri, ma nessun punto interno; la loro unione rappresenta la somma dei due poligoni confinanti.

Ecco alcuni esempi di poligoni confinanti:

 

Poligoni confinanti

 

Poligoni equicomposti

Due poligoni si dicono equicomposti se sono somme di poligoni rispettivamente congruenti.

In particolare, due poligoni congruenti sono anche equicomposti, ma non vale il viceversa.

La relazione di equicomposizione è una relazione di equivalenza, infatti gode delle seguenti proprietà:

  • ogni poligono è equicomposto con se stesso (proprietà riflessiva);
  • se un poligono P è equicomposto con un poligono Q, anche il poligono Q è equicomposto con il poligono P (proprietà simmetrica);
  • se due poligoni sono entrambi equicomposti con un terzo poligono, sono anche equicomposti fra loro (proprietà transitiva).

Teorema: Se due poligoni sono somme di poligoni rispettivamente equicomposti, essi sono equicomposti tra loro.

 

Area di un poligono

L’area di un poligono è la classe di equivalenza, rispetto alla relazione di equicomposizione, cui appartiene il poligono considerato.

Si può anche affermare che l’area è ciò che hanno in comune due o più poligoni equicomposti.

Le aree di due o più poligoni possono essere sommate tra loro, e se i poligoni hanno aree A e B, la somma delle loro aree si indica con A + B.

Unità di misura delle aree

L’unità di misura delle aree è l’area del quadrato che ha i lati di lunghezza uguale all’unità di misura prescelta per le lunghezze.

In particolare, essendo il metro l’unità di misura delle lunghezze, abbiamo che l’unità di misura delle aree è il metro quadrato (mq).

Vediamo ora come si calcolano le aree delle principali figure piane.

Area di un quadrato: la misura dell’area di un quadrato è il quadrato della misura di un suo lato.

Area del quadrato

\[ A = a^2 \]

Area di un rettangolo: l’area di un rettangolo è il prodotto delle misure della sua base e della sua altezza.

 

Area del rettangolo

\[ A = a \cdot b \]

 

Area di un parallelogramma: l’area di un parallelogramma è uguale a quella di un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza.

 

Area parallelogramma

\[ A = A \cdot h \]

 

Possiamo dedurre che:

  • parallelogrammi aventi la stessa base e la stessa altezza hanno la stessa area;
  • la misura dell’area di un parallelogramma è il prodotto delle misure della base per l’altezza.

Area di un rombo: l’area di un rombo è la metà dell’area di un rettangolo avente i lati congruenti alle diagonali del rombo.

In particolare, l’area di un rombo è la metà del prodotto delle misure delle sue diagonali.

 

Area rombo

\[ A = \frac{D \cdot d}{2} \]

 

Area di un triangolo: l’area di un triangolo è la metà dell’area di un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza.

In particolare, la misura dell’area di un triangolo è data dalla metà del prodotto delle misure della base e dell’altezza.

 

Area triangolo

\[ A = \frac{b \cdot h}{2} \]

 

Area di un trapezio: l’area di un trapezio è uguale a quella di un triangolo avente la stessa altezza del trapezio e per base la somma delle basi del trapezio.

In particolare, la misura dell’area di un trapezio è la metà del prodotto della misura dell’altezza per la somma delle misure delle basi.

 

Area trapezio

\ [ A = \frac{(B+b) \cdot h}{2} \]

 

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