Triangoli e criteri di congruenza

Definizioni

I triangoli sono poligoni di tre lati e posso essere classificati in base ai lati in:

  • Triangolo isoscele: è un triangolo avente due lati congruenti;
  • Triangolo equilatero: è un triangolo che ha tutti e tre i lati congruenti;
  • Triangolo scaleno: è un triangolo che ha tutti i lati disuguali.

Nel triangolo isoscele, il punto comune ai lati congruenti si dice vertice, e l’angolo ad esso corrispondente di dice angolo al vertice. Il lato opposto a questo angolo si dice base, e gli angoli adiacenti ad essa si dicono angoli alla base.

Possiamo classificare i triangoli in base ai loro angoli:

  • Un triangolo con tra angoli acuti i dice acutangolo;
  • Un triangolo con un angolo ottuso si dice ottusangolo;
  • Un triangolo con un angolo retto si dice rettangolo.

 

Classificazione dei triangoli

 

In un triangolo rettangolo, i lati adiacenti all’angolo retto si dicono cateti, mentre il lato opposto all’angolo retto si dice ipotenusa.

Altezza di un triangolo

In un triangolo qualsiasi, definiamo altezza il segmento perpendicolare condotto da un vertice alla retta del lato opposto. Questo lato prende il nome di base, e l’altezza si dice essere relativa a quel lato stesso.

In base al tipo di triangolo, l’altezza relativa ad un lato può essere interna, esterna al triangolo, o può coincidere con un lato:

 

Altezza di un triangolo
In un triangolo vi sono tre altezze, una relativa a ciascuno dei tre lati, che si incontrano in un punto (che può essere interno, esterno, o può coincidere con un lato ) detto ortocentro del triangolo.

Mediana di un triangolo

In un triangolo qualunque, la mediana relativa ad un lato è il segmento che congiunge il vertice opposto a quel lato con il punto medio del lato stesso.

 

Mediana di un triangolo

 

In un triangolo vi sono tre mediane che si incontrano in uno stesso punto detto baricentro.

Bisettrice di un triangolo

In un triangolo qualunque, definiamo bisettrice di un angolo il segmento, contenuto nella semiretta bisettrice di quell’angolo, che ha un estremo nel vertice dell’angolo, e l’altro estremo sul lato opposto.

 

Bisettrice di un triangolo

 

In un triangolo vi sono tre bisettrici che si incontrano in uno stesso punto detto incentro.

In un triangolo equilatero, le altezze, le mediane e le bisettrici corrispondono, e i loro punti di incontro (ortocentro, baricentro e incentro) si trovano nello stesso punto.

Criteri di congruenza

Due triangoli qualunque sono congruenti quando hanno i tre lati e i tre angolo rispettivamente congruenti.

Vediamo ora dei criteri che ci permetteranno di capire se, dati due triangoli di cui conosciamo solo alcune informazioni, se essi sono congruenti o meno.

Primo criterio di congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti.

 

Primo criterio di congruenza dei triangoli

Secondo criterio di congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso congruenti.

 

Secondo criterio di congruenza dei triangoli

Terzo criterio di congruenza

Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti i tre lati, allora essi sono congruenti.

 

Terzo criterio di congruenza dei triangoli
Dai primi due criteri di congruenza derivano alcune importanti conseguenze riguardanti i triangoli isosceli:

  • In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti;
  • Un triangolo con due angoli congruenti è un triangolo isoscele che ha per base il lato adiacente ad essi.

I triangoli isosceli, inoltre, possiedono altre importanti proprietà:

  • In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è pure altezza e mediana relativa alla base;
  • In un triangolo isoscele la mediana relativa alla base è pure altezza e bisettrice dell’angolo al vertice;

Quarto criterio di congruenza (secondo criterio generalizzato)

Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due angoli e un lato.

Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

  • Due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno due cateti ordinatamente congruenti;
  • Due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno congruenti uno degli angoli acuti e un lato (ipotenusa o cateto) ordinatamente congruenti;
  • Due triangoli rettangoli sono congruenti quando hanno un cateto e l’ipotenusa ordinatamente congruenti.

 

Altro materiale di supporto

Videolezione sui triangoli e le loro proprieta

 

 

 

 

 

 

Guarda la videolezione sui triangoli e le loro proprietà sul sito delle lezioni di Matematicamente.it.

 

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