Criteri di perpendicolarità
Come già sappiamo, due rette sono perpendicolari se sono complanari, si intersecano, e, incontrandosi, formano quattro angoli retti. Oltre alla condizione di base fondamentale che I coefficienti angolari delle due rette sono l'uno l'opposto del reciproco dell'altro. Quindi siano date due rette, s ed r, se il coefficiente angolare di r è l’opposto del reciproco del coefficiente angolare di s, allora le rette r ed s saranno perpendicolari.Formuliamo ora alcuni criteri di perpendicolarità. I criteri di perpendicolarità saranno riportati qui di seguito:
- Due rette incidenti sono perpendicolari se e solo se, incontrandosi, formano due angoli adiacenti congruenti.
- Due rette incidenti sono perpendicolari se e solo se, tra i quattro angoli che formano incontrandosi, almeno uno è retto.
Infatti, secondo la definizione di perpendicolarità, le rette che si intersecano formano quattro angoli retti; considerando tra essi da angoli adiacenti, essendo entrambi reti, essi sono congruenti.
Viceversa, supponiamo che due rette, incontrandosi, formano due angoli adiacenti congruenti; essendo adiacenti, la loro somma deve essere 180°, e poiché gli angoli sono congruenti, ciascuno di essi misurerà 90°, e quindi sono angoli retti.
Infatti, se due rette sono perpendicolari, necessariamente almeno uno degli angoli da esse formato è retto.
Viceversa, se due rette si intersecano e un angolo da esse formato è retto, anche gli altri lo sono: uno perché è adiacente all'angolo da 90°, gli altri perché opposti a questi.
Perpendicolarità ad una retta passante per un punto dato
Andiamo adesso ad affrontare l’argomento relativo ad una retta passante per un dato punto. Qui di seguito l’enunciazione di un teorema fondamentale.Teorema: data una retta r e un punto P appartenente ad essa, esiste una e una sola retta s passante per tale punto e perpendicolare alla retta data.
Teorema: data una retta r e un punto P esterno ad essa, esiste una e una sola retta s passante per tale punto e perpendicolare alla retta data.
Nota: Se una delle rette fosse parallela all'asse x avrebbe il coefficiente angolare nullo m=0 e l'antireciproco -1/m sarebbe una divisione per zero. Se una delle due rette fosse parallela all'asse y non potrei calcolare il suo coefficiente angolare con la formula m=y/x.Pertanto, in entrambi i casi il teorema non è applicabile.
Possiamo generalizzare i due problemi sopra descritti affermando che: data una retta e un punto, esiste una e una sola retta passante per tale punto e perpendicolare alla retta data.
Proiezione ortogonale
Si vada ad affrontare ora l’argomento relativo alla proiezione ortogonale.Dati un punto P e una retta r, il punto H di intersezione tra la retta r e la sua perpendicolare passante per P si chiama proiezione ortogonale di P sulla retta r, o anche piede della perpendicolare condotta da P a r.
Anche un intero segmento può essere proiettato su di una retta: dato un segmento AB e una retta r, si chiama proiezione ortogonale del segmento AB sulla retta r il segmento A'B' i cui estremi sono rispettivamente le proiezioni ortogonali sulla retta r dei punti A e B.
Distanza
Si vada ora ad affrontare l’argomento relativo alla distanza da una retta.Se H è la proiezione di P sulla retta r, la lunghezza del segmento PH, ossia del segmento perpendicolare condotto da P alla retta r, è detta distanza del punto P dalla retta r.
Il fatto che proprio la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta sia scelto come distanza punto-retta è giustificato dal seguente teorema:
Teorema: data una retta e un punto non appartenente ad essa, tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta, il minore è il segmento perpendicolare.
Applicazioni ai triangoli
Spesso nelle considerazioni che vengono fatte tra rette e unti, entrano anche in gioco molto spesso i rettangoli. Considerando i teoremi precedentemente esposti, possiamo fare alcune considerazioni su mediane, altezze, bisettrici dei triangoli:
- la mediana uscente da un dato vertice di un triangolo esiste ed è unica;
- la bisettrice uscente da un dato vertice di un triangolo esiste ed è unica;
- esiste una e una sola altezza uscente da un dato vertice di un triangolo;
- ogni lato di un triangolo ha uno e un solo asse.
Possiamo affermare, quindi, che ogni triangolo ha tra altezze, tre bisettrice, tra mediane e tre assi; questi segmenti, però, non sempre sono distinti. Nel caso del triangolo isoscele, per esempio, la mediana relativa alla base, la bisettrice dell'angolo al vertice, l'altezza relativa alla base e l'asse della base coincidono.
Riassunto su rette perpendicolari e parallele
Due rette si dicono incidenti se hanno un solo punto in comune.Due rette incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro angoli congruenti e quindi retti.
Per un punto P, del piano, dato passa una sola retta perpendicolare a una retta data.
La distanza fra un punto e una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta.
Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio.
Due rette si dicono parallele se appartengono a uno stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
Due rette si dicono coincidenti se ogni punto dell’una coincide con un punto dell’altra.
Postulato di Euclide o postulato delle parallele: per un punto non appartenente a una retta si può condurre una sola parallela a tale retta.
Si dice fascio di rette parallele l’insieme delle infinite rette di un piano parallele a una data retta (r). Le rette di un fascio hanno una caratteristica in comune: la direzione.
Criterio di parallelismo. Due rette sono parallele se, intersecate da una trasversale, formano con essa: angoli alterni interni congruenti; angoli alterni esterni congruenti; angoli coniugati interni supplementari; angoli coniugati esterni supplementari; angoli corrispondenti congruenti.
Si dice distanza fra due rette parallele il segmento di perpendicolare condotto da un punto qualsiasi di una delle due rette all’altra retta.
