Perpendicolarità

Criteri di perpendicolarità

Come già sappiamo, due rette sono perpendicolari se sono complanari, si intersecano, e, incontrandosi, formano quattro angoli retti.

Formuliamo ora alcuni criteri di perpendicolarità.

  • Due rette incidenti sono perpendicolari se e solo se, incontrandosi, formano due angoli adiacenti congruenti.

Infatti, secondo la definizione di perpendicolarità, le rette che si intersecano formano quattro angoli retti; considerando tra essi da angoli adiacenti, essendo entrambi reti, essi sono congruenti.

Viceversa, supponiamo che due rette, incontrandosi, formano due angoli adiacenti congruenti; essendo adiacenti, la loro somma deve essere 180°, e poiché gli angoli sono congruenti, ciascuno di essi misurerà 90°, e quindi sono angoli retti.

  • Due rette incidenti sono perpendicolari se e solo se, tra i quattro angoli che formano incontrandosi, almeno uno è retto.

Infatti, se due rette sono perpendicolari, necessariamente almeno uno degli angoli da esse formato è retto.

Viceversa, se due rette si intersecano e un angolo da esse formato è retto, anche gli altri lo sono: uno perché è adiacente all’angolo da 90°, gli altri perché opposti a questi.

 

Perpendicolarità ad una retta passante per un punto dato

Teorema: data una retta r e un punto P appartenente ad essa, esiste una e una sola retta s passante per tale punto e perpendicolare alla retta data.

 

Perpendicolare a una retta passante per un suo punto

 

Teorema: data una retta r e un punto P esterno ad essa, esiste una e una sola retta s passante per tale punto e perpendicolare alla retta data.

 

Perpendicolare a una retta passante per punto esterno ad essa

 

 

Possiamo generalizzare i due problemi sopra descritti affermando che: data una retta e un punto, esiste una e una sola retta passante per tale punto e perpendicolare alla retta data.

 

Proiezione ortogonale

Dati un punto P e una retta r, il punto H di intersezione tra la retta r e la sua perpendicolare passante per P si chiama proiezione ortogonale di P sulla retta r, o anche piede della perpendicolare condotta da P a r.

 

Proiezione ortogonale di un punto su una retta

 

Anche un intero segmento può essere proiettato su di una retta: dato un segmento AB e una retta r, si chiama proiezione ortogonale del segmento AB sulla retta r il segmento A’B’ i cui estremi sono rispettivamente le proiezioni ortogonali sulla retta r dei punti A e B.

 

Proiezione di un segmento su una retta

 

Distanza

Se H è la proiezione di P sulla retta r, la lunghezza del segmento PH, ossia del segmento perpendicolare condotto da P alla retta r, è detta distanza del punto P dalla retta r.

 

Distanza di un punto da una retta

 

Il fatto che proprio la lunghezza del segmento perpendicolare alla retta sia scelto come distanza punto-retta è giustificato dal seguente teorema:

Teorema: data una retta e un punto non appartenente ad essa, tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta, il minore è il segmento perpendicolare.

 

Applicazioni ai triangoli

Considerando i teoremi precedentemente esposti, possiamo fare alcune considerazioni su mediane, altezze, bisettrici dei triangoli:

  • la mediana uscente da un dato vertice di un triangolo esiste ed è unica;
  • la bisettrice uscente da un dato vertice di un triangolo esiste ed è unica;
  • esiste una e una sola altezza uscente da un dato vertice di un triangolo;
  • ogni lato di un triangolo ha uno e un solo asse.

Possiamo affermare, quindi, che ogni triangolo ha tra altezze, tre bisettrice, tra mediane e tre assi; questi segmenti, però, non sempre sono distinti. Nel caso del triangolo isoscele, per esempio, la mediana relativa alla base, la bisettrice dell’angolo al vertice, l’altezza relativa alla base e l’asse della base coincidono.

 

Commenti

commenti