I fondamenti della geometria euclidea

Per capire e studiare la geometria euclidea dobbiamo conoscere alcuni aspetti fondamentali che ci permetteranno di muoverci meglio nel linguaggio geometrico.

Prima di tutto, introduciamo i seguenti concetti, quello di definizione e quello di concetto primitivo.

Definizioni: a differenza delle definizioni che conosciamo per l’italiano, le definizioni matematiche sono univoche, cioè ogni termine ha uno e un solo significato. Ogni definizione, inoltre, contiene solo termini già definiti in precedenza.

Concetti primitivi: un concetto primitivo è un concetto privo di definizione, in quanto, essendo intuitivo, se ne presuppone chiaro il significato; i concetti primitivi possono essere di natura geometrica (punto, retta, piano, spazio), di carattere insiemistico (insieme, elemento, relazione di appartenenza).

Per indicare gli enti geometrici si usano delle lettere, e in particolare:

  • lettere maiuscole per i punti;
  • lettere minuscole per le rette;
  • lettere greche per i piani.

 

Teoremi e dimostrazioni

Nella geometria euclidea si pongono affermazioni che poi vengono giustificare con ragionamenti logici. Le affermazioni prendono il nome di teoremi, mentre le loro giustificazioni si chiamano dimostrazioni.

I teoremi hanno solitamente questa forma:

  • vi è un’implicazione del tipo \(A\rightarrow B\) ( “ A implica B “ ), che viene definita enunciato del teorema;
  • il primo termine dell’enunciato ( A ) è detto ipotesi del problema;
  • il secondo termine dell’enunciato ( B ) è detto tesi del problema;
  • vi è un ragionamento deduttivo che porta ad affermare la veridicità dell’implicazione, che è la dimostrazione.

Oltre ai teoremi si parla spesso di lemmi e corollari:

Lemma: un lemma è un teorema di minore importanza che spesso si utilizza all’interno di una dimostrazione per dimostrare un teorema più importante.

Corollario: un corollario è una conseguenza immediata di un teorema che è stato precedentemente dimostrato.

I postulati, invece, sono delle affermazioni riguardanti enti primitivi che vengono accettate come vere, e non necessitano di dimostrazione.

 

Postulati di appartenenza

Postulato 0: lo spazio è l’insieme di tutti i punti; rette e piani sono sottoinsiemi dello spazio. Una retta contiene infiniti punti, un piano contiene infinite rette, uno spazio contiene infiniti piani.

Postulato 1: Per due punti distinti passa una e una sola retta.

Vi è un’importante conseguenza del postulato 1, per cui due rette distinte non possono avere più di un punto in comune; quindi, date due rette r ed s, esse possono essere:

  • incidenti se hanno un punto in comune; in questo caso si dice che le rette si intersecano in quel punto, e il punto si dice punto di intersezione;
  • non incidenti se non hanno punti in comune, quindi se non si intersecano.

Punti che appartengono ad una stessa retta si dicono allineati.

Due rette che giacciono sullo stesso piano e che non si intersecano in nessun punto si dicono parallele.

Postulato 2: Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.

I punti che appartengono ad uno stesso piano si dicono complanari.

Postulato 3: Se due punti di una retta appartengono ad un piano, allora tutti i punti della retta appartengono a quel piano ( la retta appartiene al piano).

 

Postulati d’ordine

Postulato 4: Tra i punti di una retta è possibile stabilire una relazione di ordine totale, cioè si possono ordinare i punti di una retta in modo che:

  • dati due punti A e B della retta, o A e B coincidono, o A precede B, o B precede A (proprietà di tricotomia);
  • se A precede B e B precede C, allora A precede C (proprietà transitiva).

Una retta su cui è stato scelto un verso di percorrenza si dice retta orientata.

Postulato 5: Su una retta orientata ogni punto è seguito da almeno un altro punto ed è preceduto da almeno un altro punto.

Postulato 6: Tra due punti di una retta è compreso almeno un terso punto.

Teorema: Per un punto passano infinite rette.

L’insieme di tutte le rette passanti per un punto è detto fascio di rette, o anche fascio proprio di rette; il punto comune a tutte le rette è detto centro del fascio.

Un fascio improprio di rette è, invece, costituito da una retta e da tutte le rette parallele ad essa.

 

Altro materiale di supporto

Approfondimento del V postulato di Euclide (fonte Wikipedia).

Gli Elementi di Euclide (scaricabili, in formato PDF) a cura di Carlo Sintini.

Articolo di approfondimento: “Le proposizioni 24 e 21 degli Elementi di Euclide e alcuni assiomi mancanti” (tratto dal Magazine di Matematicamente).

La figura di Euclide.

Euclide di Alessandria
Fonte Wikipedia

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Video introduttivo alla geometria euclidea (utile per imparare la terminologia in lingua inglese).

 

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