I Triangoli e i poligoni inscritti e circoscritti

I triangoli

I triangoli vengono classificati in base ad alcune loro proprietà, e si distinguono in triangoli rettangoli, isosceli, equilatero, e scaleni. In ogni tipo di triangolo sussistono delle relazioni particolari tra i segmenti che costituiscono lati, altezze, ecc.

 

Triangolo equilatero

Il triangolo equilatero è caratterizzato dal fatto di avere tre lati congruenti; chiamiamo i lati con l , e consideriamo la metà del triangolo equilatero:

 

Triangolo equilatero

 

Possiamo applicare il teorema di Pitagora per trovare la relazione che lega il lato del triangolo con la sua altezza:

\[ h = \sqrt{l^2-\Big(\frac{l}{2}\Big)^2}=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}}=\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{4}}=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}l}{2} \]

Quindi: \[ \boxed{h=\frac{\sqrt{3}}{2} l }\]

Da questa relazione, possiamo calcolare l’area del triangolo conoscendo la misura del lato:

\[ A=\frac{l\cdot h}{2}=\frac{l\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} l}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} l^2\cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \]

Quindi:

\[ \boxed{A=\frac{\sqrt{3}}{4} l^2} \]

Le considerazioni precedenti possono essere applicate anche nel caso in cui abbiamo un triangolo di angoli 30°-60°-90°, perché, infatti, esso è la metà di un triangolo equilatero.

 

Metà di un triangolo equilatero

 

Triangolo rettangolo isoscele

Un triangolo rettangoli isoscele ha un angolo retto, e gli altri due angoli, che sono congruenti, che misurano 45°. Quindi, esso può essere considerato come la metà di un quadrato:

 

Triangolo rettangolo isoscele

 

Possiamo applicare il teorema di Pitagora, e trovare la relazione che lega il lato del quadrato con la sua diagonale:

\[ d = \sqrt{l^2+l^2} = \sqrt{2l^2} = \sqrt{2} l \]

Quindi, anche nel caso del triangolo rettangolo isoscele, applicando il teorema di Pitagora, troviamo che:

\[ i = \sqrt{2}c \]

 

Formula di Erone

La formula di Erone ci permette di determinare l’area di un triangolo nel caso in cui ci siano note solamente le misure dei lati; chiamando con a, b, c le misure dei tre lati di un triangolo, si ha la seguente relazione:

\[ A = \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c) } \]

dove p indica il semiperimetro del triangolo.

La formula di Erone può essere applicata a qualsiasi tipo di triangolo.

 

Poligoni inscritti e circoscritti

Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo

Consideriamo un triangolo qualunque inscritto in una circonferenza di raggio r:

 

Generico triangolo inscritto in una circonferenza

 

Se consideriamo i triangoli CAD e CHB notiamo che essi sono simili; possiamo, quindi, mettere in proporzione i loro lati:

\[ AC: CH = CD : CB \]

Ricaviamo CD:

\[ CD = \frac{AC \cdot CB}{CH} \]

In particolare, abbiamo che:

\[ \frac{CD}{2} = \frac{AC \cdot CB}{2\cdot CH} \]

Possiamo quindi generalizzare e affermare che in ogni circonferenza circoscritta ad un triangolo, di lati a, b, c, il raggio è dato da:

\[ r = \frac{a \cdot b}{2\cdot h} \]

Moltiplicando numeratore e denominatore per il terzo lato, otteniamo:

\[ r = \frac{a\cdot b \cdot c}{2\cdot h \cdot c} = \frac{abc}{4A} \rightarrow \boxed{r=\frac{abc}{4A}} \]

 

Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo isoscele

Consideriamo in triangolo isoscele in figura, e tracciamo dal centro della circonferenza la perpendicolare ad un lato:

 

Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza

 

I triangoli rettangoli AHB e AMO sono simili, quindi sussiste la seguente proporzione:

\[ AO : AB = AM : AH \]

Possiamo ricavare AO:

\[ AO = \frac{AB \cdot AM}{AH} \]

Quindi, in qualsiasi circonferenza circoscritta ad un triangolo, il raggio è dato da:

\[ r = \frac{l\cdot \frac{l}{2}}{h} = \frac{l^2}{2h} \rightarrow \boxed{r=\frac{l^2}{2h}} \]

 

Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo

Nel triangolo ABC, consideriamo i triangoli interni BOC, AOC, AOB, che hanno le basi sui lati del triangolo ABC, e le altezze tutte uguali al raggio.

 

Circonferenza inscritta in un triangolo

 

L’area del triangolo ABC è data dalla somma delle aree dei triangoli che lo compongono, quindi:

\[ A_{ABC} = A_{BOC} + A_{AOC} + A_{AOB} \]

\[ A_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r = \]

\[ = \frac{1}{2}\cdot r \cdot (AB + BC + AC) = \frac{r}{2} \cdot P \]

Indicando con p il semiperimetro, abbiamo che:

\[ A = r \cdot p \rightarrow \boxed{r = \frac{A}{p}} \]

In particolare, possiamo anche ricavare il raggio utilizzandola formula di Erone:

\[ r = \frac{\sqrt{p\cdot(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}}{p} = \sqrt{\frac{(p-a)\cdot(p-b)\cdot(p-c)}{p}} \]

 

Lati di poligoni regolari

E’ possibile determinare la misura dei lati dei poligoni inscritti in una circonferenza conoscendo la misura del raggio. Vediamo vari casi:

 

Poligono inscritto in una circonferenza

 

Consideriamo un quadrato inscritto in una circonferenza: possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo BOC:

\[ l_4 = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r \sqrt{2} \]

Quindi, in ogni quadrato inscritto in una circonferenza, il lato è dato da:

\[ l_4 = r\sqrt{2} \]

 

Esagono inscritto in una circonferenza

 

Nel caso dell’esagono regolare, sappiamo già che il lato è uguale al raggio, perché, congiungendo ogni vertice con il vertice opposto, si formano sei triangoli equilateri:

Consideriamo un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza:

 

Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

 

poiché il triangolo ACD è rettangolo in C, e poiché il segmento CD corrisponde al lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza, possiamo applicare il teorema di Pitagora per ricavare il lato del triangolo equilatero:

\[ \overline{AD} = 2r \]

\[ \overline{DC} = l_6 = r \]

\[ l_3 = \sqrt{(2r)^2-r^2} = \sqrt{4r^2-r^2} = \sqrt{3r^2} = \sqrt{3} r \]

Concludiamo che il ogni triangolo equilatero, il lato è dato da:

\[ \boxed{l_3 = \sqrt{3}r} \]

 

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione Area del triangolo rettangolo sul sito delle lezioni di Matematicamente.it.

videolezione-area-triangolo-rettangolo

 

 

 

 

 

 

 

 

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