Triangoli e poligoni inscritti e circoscritti

In questo appunto vengono descritti i triangoli ed i poligoni inscritti e circoscritti. Come sappiamo, si dice triangolo un poligono avente tre lati. I triangoli, però, possono essere classificati in vari modi, in base ad alcune loro proprietà caratteristiche, come le lunghezze dei lati e le ampiezze degli angoli. Vediamo come.

Aspetti introduttivi

In base alla lunghezza dei lati, i triangoli si dividono in equilateri, isosceli e scaleni.

• Un triangolo si dice equilatero se tutti e tre i suoi lati sono congruenti, cioè se possiede tre lati della stessa lunghezza.
• Un triangolo si dice isoscele se almeno due dei suoi lati sono congruenti.
• Un triangolo si dice scaleno se i suoi tre lati sono tutti di lunghezza diversa.

Come detto, un triangolo può essere classificato anche in base all'ampiezza dei suoi angoli interni.

Anche in questo caso, distinguiamo tre tipologie di triangolo:

• Un triangolo si dice acutangolo se tutti e tre i suoi angoli interni sono acuti.
• Un triangolo si dice rettangolo se possiede un angolo retto.
• Un triangolo si dice ottusangolo se possiede un angolo ottuso.

Dal momento che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180°, non è possibile che un triangolo possieda più di un angolo retto, più di un angolo ottuso, oppure che lo stesso triangolo possieda sia un angolo retto che un angolo ottuso. In altri termini, ogni triangolo avrà sempre almeno due angoli acuti.

Per ulteriori approfondimenti sui triangoli vedi anche qua

Triangolo scaleno: formule

In base alle classificazioni dei triangoli eseguite sopra, vediamo quali sono le formule che possono tornare utili quando dobbiamo calcolare le dimensioni del perimetro o dell'area delle varie tipologie di triangolo.

Iniziamo dal triangolo scaleno. Il triangolo scaleno è il più generale dei triangoli, pertanto le formule utili per esso sono valide per qualsiasi tipologia di triangolo ti dovessi trovare davanti.

Per quanto riguarda il calcolo del perimetro

di un triangolo, basta sommare le lunghezze dei tre lati:

Per quanto riguarda il calcolo dell'area

, possiamo applicare la formula generale, cioè il prodotto della base per l'altezza del triangolo diviso per due.

Può capitare, però, di non conoscere la misura dell'altezza di un triangolo scaleno ma, in compenso, di conoscere le lunghezze di tutti e tre i suoi lati. In questo caso, può essere utile conoscere la formula di Erone, la quale consente di calcolare la misura dell'area di un triangolo proprio a partire dalle misure dei suoi tre lati e, quindi, del suo semiperimetro.

In questo caso, ricorda che

rappresenta la misura del semiperimetro del triangolo, che non è altro che il perimetro diviso per due, e rappresentano le lunghezze dei suoi tre lati.

Triangolo isoscele: formule

Il vantaggio di un triangolo isoscele è il fatto che esso possiede due lati uguali. Se abbiamo un triangolo isoscele di base

e lato obliquo , possiamo calcolarne il perimetro nel modo seguente:

Le formule per l'area restano invariate.

C'è, però, una osservazione molto importante da fare. Ogni triangolo isoscele è diviso dalla sua altezza in due metà perfettamente congruenti. E non solo: ciascuna di queste metà è un triangolo rettangolo. Questo consente di poter calcolare la misura del lato

di un triangolo isoscele, conoscendo quella della base e quella dell'altezza , mediante il teorema di Pitagora.

Si ha, infatti, che:

A partire da questa formula, si possono ricavare anche le formule inverse. Per esempio, ecco la formula per ricavare la misura dell'altezza conoscendo la lunghezza del lato e quella della base:

Oppure, la formula per ricavare la misura della base conoscendo quelle dell'altezza e del lato:

Triangolo equilatero: formule

Ecco alcune formule valide solo per i triangoli equilateri. Ricorda che un triangolo equilatero è anche equiangolo, cioè ha tutti gli angoli della stessa ampiezza (60°).

Nelle seguenti formule, abbiamo indicato con

la lunghezza del lato, con la sua altezza (ricorda che non è necessario specificare a quale base è relativa l'altezza, perché in un triangolo equilatero tutti i lati sono uguali), con la sua area e con il suo perimetro.

• [math]2p=3l[/math]
• [math]h= \frac{l \cdot \sqrt{3}}{2}[/math]
• [math]A = \frac{h \cdot l}{2}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sui triangoli equilateri vedi anche qua

Triangoli inscritti e triangoli circoscritti

Come forse già sai, ogni triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza e circoscrivere ad una circonferenza.

Un triangolo si può sempre inscrivere in una circonferenza. Dati tre punti del piano, nel nostro caso i vertici del triangolo, è, infatti, sempre possibile trovare una circonferenza che passi per tutti e tre. Supponiamo, allora, di avere un triangolo inscritto in una circonferenza e di voler trovare il raggio

della circonferenza note le dimensioni dei tre lati del triangolo e la sua area.

La formula che consente di ottenere tale risultato è:

Possiamo, cioè, affermare che la misura del raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il prodotto delle misure dei lati e il quadruplo dell'area del triangolo stesso.

Viceversa, se è la circonferenza ad essere inscritta in un triangolo e se ne volessimo calcolare il raggio

, tale valore si otterrebbe semplicemente a partire dai valori dell'area e del perimetro del triangolo, nel modo seguente:

In altri termini, il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo è pari al rapporto tra il doppio dell'area del triangolo ed il suo perimetro.

Poligoni inscritti e poligoni circoscritti

In questo paragrafo faremo un passo avanti, passando dai triangoli ai poligoni in generale: ci chiederemo se un poligono è sempre inscrivibile o circoscrittibile ad una circonferenza ed in quali casi lo è. Al termine del paragrafo potrai trovare la formula per calcolare l'area di un poligono regolare circoscritto ad una circonferenza.

Come abbiamo già visto, un triangolo è sempre inscrittibile e circoscrittibile ad una circonferenza. Si tratta di un caso abbastanza particolare: i quadrilateri, per esempio, non sono né sempre inscrittibili in circonferenze né sempre circoscrittibili a circonferenze. In particolare, un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza solo se gli angoli opposti sono supplementari (cioè se la loro somma è pari a 180°), mentre può essere circoscritto ad una circonferenza solo se la somma dei lati opposti è uguale.

I poligoni che hanno, invece, in comune con i quadrati, il fatto di essere sempre inscrittibili in circonferenze e circoscrittibili a circonferenze sono i poligoni regolari, cioè quelli che hanno tutti i lati e tutti gli angoli uguali. I poligoni regolari sono, dunque, sempre inscrittibili in circonferenze e sempre circoscrittibili a circonferenze.
Dato un poligono regolare circoscritto ad una circonferenza, è abbastanza semplice calcolarne l'area. Detti

il perimetro del poligono e il raggio della circonferenza inscritta nel poligono, la misura dell'area si ottiene proprio moltiplicando tra loro queste due quantità e dividendo il risultato per due. Osserva pure che il raggio della circonferenza coincide con l'apotema del poligono.

In sintesi, la formula per calcolare l'area di un poligono regolare circoscritto ad una circonferenza è:

Per ulteriori approfondimenti sui poligoni vedi anche qua