Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

Misura della lunghezza della circonferenza

La circonferenza è formata da una linea che non è un segmento, ma neanche una poligonale, quindi la sua misura non può essere calcolata in maniera intuitiva.

E’ possibile stimare la lunghezza della circonferenza inscrivendo in essa dei poligoni regolari: notiamo, infatti, che più aumentano i lati dei poligoni inscritti, più i poligoni stessi si avvicinano alla circonferenza:

 

Approssimazione per difetto della lunghezza della circonferenza tramite poligoni inscritti

 

La misura del poligono inscritto rappresenta un’approssimazione per difetto della misura della lunghezza della circonferenza.

Allo stesso modo, si può considerare un’approssimazione per eccesso della misura della lunghezza della circonferenza, considerando i poligoni circoscritti alla circonferenza:

 

Approssimazione per eccesso della lunghezza della circonferenza tramite poligoni circoscritti

 

In particolare, all’aumentare del numero dei lati le approssimazioni per eccesso e per difetto si avvicinano sempre di più, e possiamo affermare che “tendono” ad un valore ben preciso.

Il rapporto tra il perimetro del poligono e il diametro della circonferenza è costante, non dipende, cioè, dal diametro. Poiché il perimetro del poligono si avvicina sempre di più alla circonferenza, possiamo affermare che anche il rapporto tra la circonferenza e il diametro è costante, e questo rapporto viene indicato con il simbolo “pi greco”:

\[\frac{\text{circonferenza}}{\text{diametro}}=\frac{C}{2r}=\pi\]

Da cui, possiamo ricavare la misura della lunghezza della circonferenza:

\[\frac{C}{2r}=\pi \Rightarrow C=2\pi r\]

Il pi greco è un numero trascendentale, cioè un numero irrazionale, che non si può esprimere mediante frazioni o radici; le sue prime cifre sono queste:

\[\pi = 3.14159265\ldots \]

 

Misura dell’area della circonferenza

Così come per la misura della lunghezza della circonferenza, anche la misura dell’area della circonferenza può essere ricavata ragionando con le misure delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza.

All’aumentare del numero dei lati dei poligoni, i valori delle aree dei poligoni inscritti e dei poligoni circoscritti si avvicinano sempre di più, e tendono ad un quarto del valore di pi greco.

Si può dimostrare che il rapporto tra l’area dei poligoni e il quadrato della misura del diametro è costante; quindi, è costante anche il rapporto tra l’area della circonferenza e il quadrato del diametro è costante, e si ha:

\[\frac{A}{(2r)^2}=\frac{A}{4r^2}=\frac{\pi}{4}\]

Da cui:

\[\frac{A}{r^2}=\pi \rightarrow A = \pi r^2\]

 

Lunghezza di un arco

Le lunghezze degli archi di una circonferenza sono proporzionali ai corrispondenti angoli al centro.

Consideriamo una circonferenza di raggio r; sappiamo che essa può essere considerata come un arco corrispondente ad un angolo di 360°. Chiamiamo l la misura della lunghezza di un arco, e alfa la misura (in gradi) del corrispondente angolo al centro; possiamo impostare una proporzione:

\[ l : 2\pi r = \alpha : 360° \]

Da cui possiamo ricavare la lunghezza dell’arco:

\[ l = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360°} = \frac{\pi r \cdot \alpha}{180°} = \frac{\alpha}{180°} \pi r \]

 

Area di un settore circolare

Così come nel caso della lunghezza degli archi, anche per la misure delle aree dei settori circolari possiamo fare ragionamenti analoghi.

Le aree dei settori circolari sono proporzionali agli angoli al centro ad essi corrispondenti.

Anche in questo caso, quindi, possiamo impostare una proporzione, indicando con S l’area del settore circolare:

\[ S: \pi r^2 = \alpha : 360° \]

Possiamo, quindi, ricavare l’area del settore circolare:

\[ S = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360°} = \frac{\alpha}{360°} \pi r^2 \]

 

Gradi e radianti

Gli angoli possono essere misurati sia in gradi che in radianti.

A differenza dei gradi, il radiante esprime l’ampiezza di un angolo alla circonferenza cui corrisponde un arco di lunghezza uguale al raggio.

Quindi, volendo calcolare l’ampiezza di un angolo in radianti (indicato dalla lettera greca “ro”), consideriamo l’arco corrispondente all’angolo al centro, e calcoliamo il rapporto tra l’arco e il raggio della circonferenza:

\[ \rho = \frac{l}{r} \]

 

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione “Cerchio e circonferenza: prime definizioni” sul sito delle lezioni di Matematicamente.it.

Scarica gli appunti su cerchio e circonferenza in formato PDF, a cura di Giovanna Puppo e Antonio Bernardo.

 

Esercizio proposto

La lunghezza del diametro di un CD è \((12.0 \pm 0.1)\) cm.
Calcola la lunghezza della circonferenza del CD e la corrispondente incertezza.
Calcola l’area del cerchio con la relativa incertezza.
Esprimi in maniera corretta i risultati ottenuti.
Calcola l’incertezza relativa su ogni misura.

Scarica il testo dell’esercizio con relativa soluzione.

 

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