Definizione di poligono
Un poligono viene definito come una figura geometrica piana che va a delimitare una parte del piano attraverso l'insieme di linee spezzate chiuse. L'unione di tutte queste linee spezzate e la parte di piano delimitata da esse crea il poligono. Si definiscono lati del poligono l'insieme di queste linee spezzate. Un poligono può essere di forma regolare o irregolare, ciò dipende dai suoi lati e angoli che lo definiscono.Per ulteriori approfondimenti sui poligoni vedi qui
Poligono inscritti ad una circonferenza
Innanzitutto definiamo che cosa si intende per inscritto. Per poligono inscritto si intende che il poligono è contenuto, delimitato e confinato entro una specifica regione.Si dice che un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. Se un poligono è inscritto in una circonferenza, si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono.
Dato un poligono qualunque, se esiste una circonferenza tale che tutti i punti del poligono appartengono alla circonferenza, si dice che il poligono è inscrivibile in una circonferenza. Vediamo ora due teoremi che riguardano l'esistenza della circonferenza circoscritta ad un poligono, e le condizioni affinché essa esista:
- Teorema: La circonferenza circoscritta ad un poligono è unica, se esiste.
- Teorema: Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli assi relativi ai suoi lati passano tutti per uno stesso punto, e questo punto coincide con il centro della circonferenza circoscritta.
Un poligono può essere inscrivibile anche in una semicirconferenza; in questo caso, è necessario che esso sia inscritto in una circonferenza, e uno dei suoi lati coincida con il diametro della circonferenza stessa.
Per ulteriori approfondimenti sulla circonferenza vedi qui
Poligoni circoscritti ad una circonferenza
Innanzitutto definiamo che cosa si intende per circoscritto. Per poligono circoscritto si intende che il poligono è contenuto, delimitato e confinato attorno ad una specifica regione.Si dice che un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono.
Dato un poligono qualunque, se esiste una circonferenza tangente a tutti i lati del poligono, si dice che il poligono è circoscrivibile a una circonferenza.
Di seguito viene illustrato ora un teorema che ci fornisce le condizioni necessarie affinché un poligono sia circoscrivibile ad una circonferenza:
- Teorema:Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se le bisettrici dei suoi angoli interni passano tutte per uno stesso punto, e se ciò accade, questo punto coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono.
Così come per la circonferenza circoscritta, anche per quella inscritta abbiamo un teorema riguardo la sua unicità:
- Teorema: La circonferenza inscritta in un poligono, se esiste, è unica.
Un poligono, inoltre, può anche essere circoscritto ad una semicirconferenza: in questo caso, è necessario che uno dei suoi lati contenga il diametro della circonferenza, e gli altri lati siano tangenti alla circonferenza stessa.
Quadrilateri inscritti
Vediamo ora il caso particolare in cui i poligono inscritti e circoscritti siano come figure piane dei quadrilateri.Di seguito vengono illustrato questo teorema in cui viene stabilita la condizione necessaria affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza:
- Teorema: Se un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza i suoi angoli opposti sono supplementari.
In questo secondo teorema, invece, si può notare che la condizione appena enunciata precedentemente è anche sufficiente:
- Teorema: Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari, allora è inscrivibile in una circonferenza.
Riassumendo, si può dire che un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se è in possesso di una coppia di angoli opposti supplementari. In particolare, notiamo che ogni quadrato, e ogni rettangolo, è inscrivibile in una circonferenza, e le sue diagonali sono i diametri della stessa.
Per approfondimenti sui quadrilateri vedi qui
Quadrilateri circoscritti
Per i quadrilateri, la condizione necessaria e sufficiente per la circoscrivibilità di un poligono ad una circonferenza è la stessa che per i poligoni in generale.Per i quadrilateri, però, valgono anche i seguenti teoremi:
- Teorema: Se un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza, allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.
- Teorema: Sa la somma di due lati opposti di un quadrilatero è congruente alla somma degli altri due lati, il quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza.
Altro materiale di supporto
Guarda la videolezione "Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza"
Esercizi proposti
- Nel triangolo ABC i lati AB e AC superano rispettivamente di 28 e 8 cm le loro proiezioni BH e CH sul lato BC. Sapendo che il perimetro è 504 cm, trovare i lati del triangolo, l'altezza AH, l'area e il raggio del cerchio inscritto nel triangolo. Sei in difficoltà con l'esercizio? Prendi spunto dalla soluzione proposta nel forum di matematicamente.
- Un trapezio isoscele, circoscritto a una circonferenza, ha le basi di 15 cm e 7 cm. Calcola la misura del lato obliquo. Trovi la soluzione nella videolezione sul sito delle lezioni.
