Poligoni inscritti e circoscritti

Si dice che un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.

Se un poligono è inscritto in una circonferenza, si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono.

Dato un poligono qualunque, se esiste una circonferenza tale che tutti i punti del poligono appartengono alla circonferenza, si dice che il poligono è inscrivibile in una circonferenza.

Vediamo ora due teoremi che riguardano l’esistenza della circonferenza circoscritta ad un poligono, e le condizioni affinché essa esista:

Teorema: La circonferenza circoscritta ad un poligono, se esiste, è unica.

Teorema: Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli assi relativi ai suoi lati passano tutti per uno stesso punto, e questo punto coincide con il centro della circonferenza circoscritta.

 

Poligono inscrivibile se e solo se assi lati passano stesso punto

 

Un poligono può essere inscrivibile anche in una semicirconferenza; in questo caso, è necessario che esso sia inscritto in una circonferenza, e uno dei suoi lati coincida con il diametro della circonferenza stessa.

 

Ooligono inscritto in una semicirconferenza

 

Poligoni circoscritti ad una circonferenza

Si dice che un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.

Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono.

Dato un poligono qualunque, se esiste una circonferenza tangente a tutti i lati del poligono, si dice che il poligono è circoscrivibile a una circonferenza.

Illustriamo ora un teorema che ci fornisce le condizioni necessarie affinché un poligono sia circoscrivibile ad una circonferenza:

Teorema: Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se le bisettrici dei suoi angoli interni passano tutte per uno stesso punto, e se ciò accade, questo punto coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono.

 

Poligono circoscrivibile se e solo se le bisettrici degli angoli interni passano per uno stesso punto

 

Così come per la circonferenza circoscritta, anche per quella inscritta abbiamo un teorema riguardo la sua unicità:

Teorema: La circonferenza inscritta in un poligono, se esiste, è unica.

Un poligono, inoltre, può anche essere circoscritto ad una semicirconferenza: in questo caso, è necessario che uno dei suoi lati contenga il diametro della circonferenza, e gli altri lati siano tangenti alla circonferenza stessa.

 

Poligono circoscritto a una semicirconferenza

 

Quadrilateri inscritti e circoscritti

Quadrilateri inscritti

Vediamo ora il caso particolare in cui i poligono inscritti e circoscritti siano quadrilateri.

Il questo teorema, viene stabilita la condizione necessaria affinché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza:

Teorema: Se un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza i suoi angoli opposti sono supplementari.

In questo secondo teorema, invece, notiamo che la condizione appena detta è anche sufficiente:

Teorema: Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari, allora è inscrivibile in una circonferenza.

Riassumendo, possiamo dire che un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha una coppia di angoli opposti supplementari. In particolare, notiamo che ogni quadrato, e ogni rettangolo, è inscrivibile in una circonferenza, e le sue diagonali sono i diametri della stessa.

Quadrilateri circoscritti

Per i quadrilateri, la condizione necessaria e sufficiente per la circoscrivibilità di un poligono ad una circonferenza è la stessa che per i poligoni in generale.

Per i quadrilateri, però, valgono anche i seguenti teoremi:

Teorema: Se un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza, allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Teorema: Sa la somma di due lati opposti di un quadrilatero è congruente alla somma degli altri due lati, il quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza.

 

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione “Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza” sul sito delle lezioni di Matematicamente.it.

Esercizi proposti

  1. Nel triangolo ABC i lati AB e AC superano rispettivamente di 28 e 8 cm le loro proiezioni BH e CH sul lato BC. Sapendo che il perimetro è 504 cm, trovare i lati del triangolo, l’altezza AH, l’area e il raggio del cerchio inscritto nel triangolo. Sei in  difficoltà con l’esercizio? Prendi spunto dalla soluzione proposta nel forum di matematicamente.
  2. Un trapezio isoscele, circoscritto a una circonferenza, ha le basi di 15 cm e 7 cm. Calcola la misura del lato obliquo. Trovi la soluzione nella videolezione sul sito delle lezioni.

 

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