Definizione e caratteristiche di un triangolo
Il triangolo è il più semplice dei poligoni, possiede tre lati e tre angoli. È un poligono convesso perché i prolungamenti di ciascuno dei suoi lati sono sempre esterni al triangolo. Questi poligoni si possono classificare sia rispetto ai lati che rispetto agli angoli.Rispetto ai lati abbiamo:
- il triangolo scaleno che non ha lati congruenti;
- il triangolo isoscele che ha due lati congruenti;
- il triangolo equilatero che ha i tre lati congruenti.
Rispetto agli angoli, si hanno invece i seguenti tipi di triangolo:
- il triangolo acutangolo che a tutti gli angoli acuti, cioè angoli di ampiezza inferiore 90°;
- il triangolo ottusangolo che ha un angolo ottuso, quindi di ampiezza superiore a 90° e inferiore a 180°;
- il triangolo rettangolo che ha un angolo retto, di ampiezza 90°.
In ogni triangolo ciascun lato è sempre maggiore della differenza degli altri due ed è sempre minore della somma degli altri due lati.
Segmenti notevoli di un triangolo
In ogni triangolo definiamo i seguenti segmenti che sono sempre uscenti da un vertice e diretti al lato opposto.Definiamo mediana il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto.
Definiamo bisettrice di un triangolo, relativa a un suo angolo, il segmento della bisettrice dell’angolo compreso fra un vertice e il lato opposto.
La bisettrice di un angolo è un luogo geometrico, i suoi punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ed è una semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo.
La bisettrice di un triangolo è invece un segmento, che ha un estremo coincidente con il vertice dell’angolo da cui esce e l’altro estremo situato sul lato opposto.
Definiamo altezza di un triangolo il segmento che parte da un vertice e cade sul lato opposto formando due angoli retti, un’altezza è perpendicolare al lato opposto.
Per ogni vertice del triangolo è possibile tracciare ciascuno di questi segmenti, pertanto, in ogni triangolo:
- ci sono tre mediane, e sono sempre interne al triangolo.
- ci sono tre bisettrici, anche queste sono sempre interne al triangolo
- ci sono tre altezze, che possono essere interne o esterne, o anche coincidenti con un lato, a seconda del tipo di triangolo.
L’asse di un segmento è un luogo geometrico definito come il luogo dei punti equidistanti dai suoi estremi.
L’asse di un segmento è una retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio. In un triangolo ci sono tre assi, uno per ciascun lato. Essendo una retta non può avere origine in uno dei vertici del triangolo.
I punti notevoli dei triangoli sono i punti di intersezione di questi segmenti, esaminiamoli in dettaglio.
Per ulteriori approfondimenti sui punti notevoli vedi qua
Circocentro C
Sappiamo, infatti, che ogni triangolo ha tre vertici, e che per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza; quindi, ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza.
Sapendo che, in ogni poligono iscritto in una circonferenza gli assi dei suoi lati si incontrano tutti in un punto, che corrisponde al centro della circonferenza circoscritta, possiamo affermare la stessa cosa anche per i triangoli: gli assi dei lati di un triangolo si incontrano nel circocentro.
Essendo il circocentro di un triangolo equidistante dai suoi vertici, la distanza di ciascun vertice dal centro del triangolo equivale al raggio della circonferenza.
Il circocentro può trovarsi in posizioni diverse, in base al tipo di triangolo che stiamo considerando:
- il circocentro di un triangolo acutangolo è interno al triangolo;
- il circocentro di un triangolo rettangolo è il punto medio dell’ipotenusa;
- il circocentro di un triangolo ottusangolo è esterno al triangolo.
Incentro I, excentro E
Oltre alla circonferenza circoscritta, anche la circonferenza inscritta in un triangolo esiste sempre ed è unica; infatti, si hanno i seguenti teoremi:Teorema: Ogni triangolo è circoscrivibile ad una circonferenza.
Teorema: La circonferenza inscritta in un poligono, se esiste, è unica.
L’esistenza della circonferenza inscritta in un triangolo ci permette di definire l’incentro di un triangolo: si dice incentro di un triangolo il centro della circonferenza inscritta in esso.
Così come per ogni poligono circoscritto ad una circonferenza, anche per i triangoli possiamo affermare che le bisettrici relative ai suoi angoli interni si incontrano in uno stesso punto, che coincide con il centro della circonferenza inscritta.
L’incentro viene definito proprio come il punto di incontro delle bisettrici degli angoli di un triangolo.
L’incentro di un triangolo è equidistante dai suoi lati, e la distanza dell’incentro da ciascun lato del triangolo coincide con il raggio della circonferenza inscritta.
Si definisce excentro E, il punto di intersezione delle bisettrici di due angoli esterni di un triangolo, con la bisettrice dell’angolo interno non adiacente ad essi.
Ortocentro O
La parola ortocentro è una parola composta da due termini: “orto” dal greco orthós che significa dritto, retto, e da “centro”.Le tre altezze di un triangolo si incontrano in un punto, che viene definito ortocentro.
L’ortocentro di un triangolo può trovarsi in posizioni diverse, in base al tipo di triangolo che stiamo considerando:
- l’ortocentro di un triangolo acutangolo è interno al triangolo;
- l’ortocentro di un triangolo rettangolo è il vertice dell’angolo retto;
- l’ortocentro di un triangolo ottusangolo è esterno al triangolo.
Baricentro G
La parola baricentro è una parola composta da due termini: “bari”, dal greco[math] \beta \alpha \rho \upsilon \varsigma[/math]
, che significa pesante, e da “centro”. Questo punto è detto anche centro di gravità del triangolo. Nel baricentro di un corpo risulta sempre applicata la forza peso.
Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto che divide ciascuna mediana in due parti, delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.Si dice baricentro di un triangolo il punto di intersezione delle sue mediane.
A differenza degli altri punti notevoli, il baricentro di un triangolo è sempre interno al triangolo stesso.
