Rette parallele

Rette tagliate da una trasversale

Consideriamo due rette complanari r ed s, che intersecano un’altra retta t, detta trasversale; l’intersezione di queste rette da luogo a otto angoli

che vengono chiamati, a due a due, con dei nomi specifici; indichiamo questi angoli con i numeri da 1 a 8:

 

Rette tagliate da una trasversale

 

  • gli angoli 2 e 8, oppure 3 e 5 si dicono alterni interni;
  • gli angoli 4 e 6, oppure 1 e 7 si dicono alterni esterni;
  • gli angoli 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7 si dicono corrispondenti;
  • gli angoli 2 e 5, oppure 3 e 8 si dicono coniugati interni;
  • gli angoli 1 e 6, oppure 4 e 7 si dicono coniugati esterni.

Si può dimostrare che sono congruenti, tra loro, gli angoli alterni interni, alterni esterni, corrispondenti; gli angoli coniugati, invece, sono supplementari.

Vediamo ora alcuni teoremi che si applicano considerando gli angoli sopra descritti.

Teorema sulle rette parallele

Se due rette, tagliate da una trasversale, formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora gli angoli alterni esterni sono congruenti, gli angoli corrispondenti sono congruenti, gli angoli coniugati sono supplementari.

Esistenza delle rette parallele

Due rette di uno stesso piano che non hanno nessun punto in comune si dicono parallele. Il seguente teorema ci assicura l’esistenza delle rette parallele.

Postulato di Euclide

La parallela ad una retta data, condotta per un punto esterno ad essa, è unica.

Vediamo ora alcuni criteri che ci permetteranno di stabilire se due rette sono parallele.

Criteri di parallelismo

Se due rette di un piano formano con una trasversale

  • due angoli alterni interni (o esterni) congruenti, oppure
  • due angoli corrispondenti congruenti, oppure
  • due angoli coniugati supplementari

allora le due rette sono parallele.

Il seguente teorema può essere considerato l’inverso del precedente:

Teorema inverso sulle parallele

Se due rette di un piano sono parallele, esse, tagliate da una trasversale, formano:

  • angoli alterni interni ( o esterni ) congruenti,
  • angoli corrispondenti congruenti,
  • angoli coniugati supplementari.

Nel caso in cui valga sia un teorema che il suo inverso, gli enunciati dei due teoremi si possono esprimere mediante un’unica proposizione:

Teorema

La condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è che esse formino con una trasversale una coppia di angoli alterni interni (o esterni) congruenti, oppure due angoli corrispondenti congruenti, oppure due angoli coniugati supplementari.

Per le rette parallele vale la proprietà transitiva: se due rette sono parallele ad una terza rette, allora esse sono parallele tra loro.

Il parallelismo può essere considerato come relazione di equivalenza, poiché gode delle tre proprietà:

  • riflessività: una retta è parallela a se stessa;
  • simmetria: se una retta s è parallela ad una retta t, anche la retta t è parallela alla retta s;
  • transitività: se una retta r è parallela ad una retta t, e la retta t è parallela ad una retta s allora anche le rette r ed s sono parallele.T

Teoremi sul parallelismo

  • Se due rette sono parallele, ogni retta che giace sullo stesso piano che incontra una retta deve incontrare anche l’altra;
  • Se due rette sono parallele, ogni perpendicolare a una delle due rette è perpendicolare anche all’altra.

 

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