Teorema di Pitagora e teoremi di Euclide

In questo appunto vengono enunciati tre principali teoremi del triangolo rettangolo: il teorema di Pitagora e i due teoremi di Euclide. Per comprendere meglio tali teoremi viene prima proposto un breve ripasso sui triangoli, in particolare sul triangolo rettangolo e sulle proporzioni.

Triangolo e triangolo rettangolo

Un triangolo è una figura piana (bidimensionale) composta da tre segmenti aventi gli estremi in comune; nel triangolo i segmenti prendono il nome di lati mentre gli estremi dei segmenti in comune prendono il nome di vertici.
La parte di piano compresa tra due lati attigui definisce una porzione di spazio che prende il nome di angolo; un triangolo è quindi composto da tre angoli e tre lati.
Ricordiamo che l’angolo può essere definito come una delle due parti di piano delimitata da due semirette aventi l’origine in comune.
A seconda del tipo di angoli di cui è composto, il triangolo assume dei nomi caratteristici:

• triangolo acutangolo: triangolo che possiede tutti e tre gli angoli acuti;
• triangolo ottusangolo: triangolo che possiede due angoli acuti e un angolo ottuso;
• triangolo rettangolo: triangolo che possiede un angolo retto e due angoli acuti.

Nel triangolo rettangolo i lati prendono dei nomi particolari: i lati adiacenti all'angolo retto prendono il nome di cateti mentre il lato opposto all’angolo retto prende il nome di ipotenusa.
Abbiamo detto che un triangolo è composto da tre angoli perciò è possibile che ognuno dei tre angoli che lo compongono sia retto, per specificare quale angolo è retto si afferma che “il triangolo è rettangolo in A” dove corrisponde al vertice in cui è presente un angolo retto.
Dato un triangolo è possibile proiettare un lato su un secondo lato; per far ciò è necessario proiettare gli estremi sul secondo lato e il segmento compreso tra i punti individuati corrisponde alla proiezione del lato.
Per proiettare un punto su un segmento è necessario tracciare l’asse del segmento passante per il punto considerato; per fare ciò è quindi necessario tracciare la retta perpendicolare al segmento dato e passante per il punto considerato, il punto di intersezione tra le due rette corrisponde alla proiezione del punto sul segmento.

Per ulteriori approfondimenti sui triangoli e le diverse classificazioni vedi anche qua

Proporzioni

Potremmo definire una proporzione come un'uguaglianza tra due rapporti.
Una proporzione viene quindi rappresentata nel seguente modo:
Dove le lettere corrispondono a numeri reali. Diremo inoltre che:

• [math]a, d[/math]
  prendono il nome di estremi (sono i numeri che si trovano nella posizione esterna)
• [math]b, c[/math]
  prendono il nome di medi (si trovano nelle posizioni interne nella proporzione).

Per risolvere una proporzione è possibile utilizzare alcune proprietà delle proporzioni.
Una delle proprietà più importanti afferma che: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Osservando la proporzione espressa in forma generale, la proprietà che è stata esposta corrisponde ad affermare che:
Partendo dall’uguaglianza appena riportata è possibile esplicitare la grandezza di cui si vuole calcolare il valore; se ad esempio si vuole trovare il valore di a si ottiene che:
Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni vedi anche qua.

Primo teorema di Euclide - Definizione

Il teorema di Euclide enuncia che: in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione sull'ipotenusa.
Considerando, quindi, un triangolo rettangolo , rettangolo in , possiamo stabilire le seguenti proporzioni:

Vale inoltre l'uguaglianza:
Possiamo notare che, applicando le proprietà delle proporzioni, sappiamo che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi possiamo dedurre le seguenti uguaglianze:
Sommando le due uguaglianze possiamo ottenere il Teorema di Pitagora! Questo teorema verrà analizzato meglio nei paragrafi successivi.
Riassumendo, possiamo affermare che in un triangolo rettangolo il quadrato della misura di un cateto è uguale al prodotto delle misure dell'ipotenusa e della proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Secondo teorema di Euclide - Definizione

Esso enuncia che in un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
Vale quindi, per i criteri di similitudine:

Anche in questo caso, possiamo applicare le proprietà delle proporzioni e ricavare la seguente uguaglianza:

e possiamo affermare, quindi, che: in un triangolo rettangolo il quadrato della misura dell'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al prodotto delle misure delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Teorema di Pitagora - Definizione

Esso afferma che in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle misure dei cateti è uguale al quadrato della misura dell'ipotenusa.

Abbiamo quindi la seguente relazione:
Questa relazione si ottiene sommando le due uguaglianze relative al Primo Teorema di Euclide, citato sopra.
Si può scrivere quindi:
É importante ricordare che tali relazioni valgono solo nel caso di triangoli rettangoli, se si sta considerando un triangolo generico non è possibile utilizzare tali relazioni, ciò che è possibile fare è individuare dei triangoli rettangoli sui quali è possibile utilizzare questi teoremi.
In particolare, esiste il Teorema di Carnot, che generalizza il risultato del Teorema di Pitagora anche agli altri triangoli (acutangoli e ottusangoli).

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione "Teorema di Pitagora

Esercizio proposto

Problema: Un triangolo rettangolo ha un cateto di 12cm e l'area di , calcolane il perimetro.
Soluzione: Sapendo che possiamo ricavare l'altro cateto dalla formula:
(interpretando un cateto come base e l'altro come altezza!), troviamo quindi che il secondo cateto è pari a . Applichiamo ora il Teorema di Pitagora per calcolare la misura dell'ipotenusa, pari a: .
Dunque il perimetro vale .