Teorema di Pitagora e teoremi di Euclide

Primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la propria proiezione sull’ipotenusa.

Considerando, quindi, il triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, possiamo stabilire le seguenti proporzioni:

BC : AB = AB : BHPrimo teorema di Euclide

BC : AC = AC : HC

Possiamo notare che, applicando le proprietà delle proporzioni, sappiamo che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, quindi possiamo dedurre le seguenti uguaglianze: \[ \overline{AB}^2=\overline{BC}\cdot\overline{BH}\] \[\overline{AC}^2=\overline{BC}\cdot\overline{CH}\]

Riassumendo, possiamo affermare che in un triangolo rettangolo il quadrato della misura di un cateto è uguale al prodotto delle misure dell’ipotenusa e della proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

 

Secondo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

BH : AH = AH : HCSecondo teorema di Euclide

Anche in questo caso, possiamo applicare le proprietà delle proporzioni e ricavare la seguente uguaglianza: \[\overline{AH}^2=\overline{BH}\cdot\overline{CH}\]

e possiamo affermare, quindi, che: in un triangolo rettangolo il quadrato della misura dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

 

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle misure dei cateti è uguale al quadrato della misura dell’ipotenusa.Teorema di pitagora

Abbiamo quindi la seguente relazione: \[\overline{BC}^2=\overline{AB}^2+\overline{AC}^2\]

Da cui abbiamo: \[\overline{BC}=\sqrt{\overline{AB}^2+\overline{AC}^2}\]

 

 

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione “Teorema di Pitagora” sul sito delle lezioni di Matematicamente.it.

Esercizi proposti

  1. Un triangolo rettangolo ha un cateto di 12cm e l’area di $80 cm^2$, calcolane il perimetro.
  2. Terne pitagoriche. Quali delle seguenti terne rappresentano le misure dei lati di un triangolo rettangolo?

Se trovi difficoltà, puoi guardare la soluzione in queste due videolezioni: soluzione 1, soluzione 2.

 

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