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In questo appunto si descrivono i poligoni regolari, con definizioni e proprietà. L’impostazione euclidea della geometria piana impone di dare una definizione chiara ed esatta degli enti geometrici con cui si ha a che fare. Partiamo dando la definizione di linea poligonale o più semplicemente di poligonale per poi arrivare a completare il quadro generale dei poligoni e della classe dei poligoni regolari.

Poligoni definizioni di base

Una spezzata o poligonale, è una figura costituita da una successione di segmenti che sono a due a due consecutivi e non adiacenti.
I segmenti che formano la spezzata si chiamano lati e vengono solitamente indicati con le lettere minuscole.

Gli estremi dei lati di una spezzata sono detti vertici e sono indicati con le lettere maiuscole. Una spezzata può essere chiusa oppure aperta.
Una poligonale è chiusa se ogni vertice è comune a due lati.
Una poligonale è detta aperta se possiede due vertici appartenenti ciascuno a un lato solo.
Una poligonale, sia essa aperta o chiusa, è detta intrecciata se due lati non consecutivi hanno un punto in comune, in caso contrario si definisce semplice.
Ora possiamo definire il poligono.
Un poligono è la regione del piano delimitata da una spezzata chiusa; la poligonale costituisce la frontiera del poligono o contorno e viene considerata come sua parte integrante. I segmenti che costituiscono la spezzata sono i lati del poligono. Gli estremi dei lati sono i vertici del poligono.
I punti del piano possono essere esterni al poligono, appartenenti alla poligonale che delimita il poligono o interni ad esso.
I poligoni possono essere classificati in concavi e convessi.
Un poligono si definisce convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati.
Un poligono si definisce concavo se contiene i prolungamenti di almeno uno dei suoi lati.
Si definisce diagonale di un poligono il segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono. Se il poligono è convesso le diagonali sono interamente contenute al suo interno, se il poligono è concavo possono essere esterne ad esso.
Il numero delle diagonali uscenti dal vertice
[math]d_v[/math]
, è uguale al numero dei lati
[math]l[/math]
o dei vertici meno tre:

[math]d_v=l-3[/math]

Il numero delle diagonali totali è dato dal prodotto tra il numero dei lati e il numero dei llatimeno tre, il tutto diviso due:

[math]d=\frac {n\times (n-3)}{2}[/math]

In ogni poligono il lato maggiore è sempre minore della somma di tutti gli altri lati.
Per quanto riguarda gli angoli esterni ed interni valgono le seguenti proprietà:
La somma degli angoli esterni di un poligono è uguale a un angolo giro in misura 360°.
La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono qualsiasi è uguale a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno due.
Il poligono con il minor numero di lati è il triangolo, una figura semplice ma dotata di notevoli proprietà.
I nomi dei poligoni sono dunque funzione del numero dei lati, abbiamo allora: quadrilatero con 4 lati, pentagono con 5, esagono con 6, decagono con 10 ecc.

Poligoni regolari

Un poligono regolare è un poligono in cui tutti gli angoli sono congruenti tra loro e tutti i lati sono congruenti tra loro
Un poligono regolare è equiangolo ed equilatero.
Il perimetro di un poligono è la somma delle misure dei suoi lati. In un poligono regolare basta moltiplicare la misura di un lato per il numero totale dei lati:

[math]2p=n\cdot l[/math]

I primi poligoni regolari che si incontrano nello studio della geometria piana sono due: il triangolo equilatero e il quadrato.
Le proprietà di questi due poligoni regolari si estendono a tutti gli altri come il pentagono regolare, l’esagono regolare ecc.
La prima proprietà che accomuna tutti i poligoni regolari è quella di essere sia inscrivibili che circoscrivibili ad una circonferenza.

Poligoni inscritti e circoscritti

Un poligono si dice inscritto nella circonferenza se i suoi vertici appartengono tutti ad essa, cioè si trovano sulla circonferenza. In questo caso diremo anche che la circonferenza è circoscritta al poligono.
Un poligono si dice circoscritto alla circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza stessa. In questo caso diremo anche che la circonferenza è inscritta nel poligono.
Le condizioni per stabilire se un poligono sia inscrivibile o circoscrivibile sono le seguenti.
Un poligono può essere inscritto in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si intersecano tutti in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza circoscritta. Il raggio della circonferenza è dato dalla distanza tra questo punto e uno qualsiasi dei vertici del poligono.
Per tutti i poligoni regolari questa condizione è sempre verificata. Ad esempio nel triangolo equilatero questo punto è il circocentro.
Tutti i poligoni regolari ammettono dunque la circonferenza circoscritta, per i quadrilateri esiste un criterio che permette di stabilire per un'altra strada l'esistenza della circonferenza circoscritta.
Se un quadrilatero ammette una circonferenza circoscritta allora gli angoli opposti sono supplementari.
In un quadrato, in un rettangolo, in un trapezio, questa condizione è verificata e perciò ammettono la circonferenza circoscritta.
Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se le bisettrici degli angoli interni si incontrano tutte nello stesso punto, che è il centro della circonferenza circoscritta. Il raggio è dato dalla distanza di tale punto da uno qualsiasi dei lati del poligono. il raggio della circonferenza inscritta si definisce apotema.
Le bisettrici di un triangolo sappiamo che si incontrano in un punto detto incentro, perciò un triangolo è sempre circoscrivibile ad una circonferenza ed è sempre inscrivibile in una circonferenza. Il centro della circonferenza circoscritta corrisponde al circocentro del triangolo.
Inoltre tutti i poligoni regolari ammettono la circonferenza inscritta e per i quadrilateri esiste una condizione particolare che lega l’esistenza della circonferenza inscritta e i lati: se in un quadrilatero le somme dei dati opposti sono congruenti allora esso ammette la circonferenza inscritta.
Questa proprietà si può utilizzare come criterio per verificare se un quadrilatero ammette oppure no la circonferenza inscritta.

Area dei poligoni regolari

La misura dell’area di un poligono regolare è uguale al prodotto della misura del semiperimetro del poligono per quella dell’apotema.

In un poligono regolare chiamiamo:

Centro del poligono il centro comune alle due circonferenze inscritta e circoscritta.
Raggio del poligono il raggio della circonferenza circoscritta.
Apotema del poligono il raggio della circonferenza inscritta.

Tutti i poligoni regolari hanno un numero di assi di simmetria uguale al numero dei lati che si intersecano nel circocentro che è coincide con il centro del poligono.
Consideriamo allora un poligono regolare, ad esempio un esagono, ed uniamo il centro del poligono con tutti i vertici. Si formano tanti triangoli isosceli congruenti, quanti sono i lati del poligono; in questo caso ne abbiamo sei.