Prisma: classificazione e caratteristiche

In questo appunto di geometria trattiamo di un solido la cui forma è ampiamente utilizzata negli oggetti che ci circondano: il prisma, un poliedro regolare. Tutte le scatole da imballaggio di qualsiasi forma e di qualsiasi misura sono dei prismi retti.

Caratteristiche generali dei poliedri

Si tratta di figure solide la cui superficie è formata da poligoni che appartengono a piani diversi e sono messi in modo tale che ogni lato sia comune ad altri due di essi. Tutti i poligoni che costituiscono la superficie del poliedro sono le sue facce, I lati dei poligoni rappresentano gli spigoli del poliedro e i vertici dei poligoni sono contemporaneamente anche i vertici del solido. Analogamente alle figure piane anche per le figure solide vengono definite le diagonali, si tratta sempre di segmenti che uniscono vertici non appartenenti alla stessa faccia ma nel caso del poliedro le diagonali collegano faccia appartenenti a piani differenti. Quando due facce hanno uno spigolo in comune vengono dette adiacenti.
Nella geometria piana sappiamo che il numero di lati necessario per formare il più piccolo dei poligoni e tre e hanno origine i triangoli. Nella geometria solida per costruire un poliedro ci vogliono almeno quattro facce e il solido che si forma prende il nome di tetraedro. Per dare i nomi alle figure solide si considerano dunque le facce così come per i poligoni si contano i lati. La formula di Eulero esprime una relazione tra il numero di vertici di spigoli e di facce per qualsiasi poliedro. Utilizzando sempre i prefissi dal greco: il pentaedro con 5 facce, l’esaedro con 6, l’ettaedro con 7 l’ottaedro con 8, il dodecaedro con 12, l’icosaedro con 20.
Per ulteriori approfondimenti sulla formula di Eulero per i poliedri vedi qua

Poliedri regolari, il prisma

Quando le facce del poliedro sono tutte congruenti tra loro e si tratta di poligoni regolari anche il poliedro viene detto regolare. Il numero dei poliedri convessi regolari è limitato, ne esistono solo 5 e sono noti con il nome di solidi platonici, questi solidi hanno Sempre un numero pari di facce: 4 per il tetraedro, sei per l’esaedro o cubo, 8 per l’ ottaedro, 12 per il dodecaedro e 20 per l’icosaedro.
Il poliedro di Keplero-Poinsot è un poliedro regolare concavo stellato. Le sue facce sono formate da poligoni identici e regolari.
Il prisma è un poliedro delimitato da due poligoni congruenti che sono le sue basi e che si trovano su due piani paralleli. Il parallelogramma è la forma delle sue facce e ne abbiamo tanti quanti sono i lati del poligono di base. Se il poligono di base è un pentagono abbiamo un prisma a base pentagonale, un ettaedro, un poliedro con 7 facce due sono le basi e 5 sono quelle laterali.
Il prisma retto presenta gli spigoli laterali perpendicolari alle basi se questo non si verifica allora il prisma è detto obliquo.
Quando il poligono di base è regolare lo è anche il prisma retto: Il parallelepipedo è un particolare tipo di prisma che ha come basi due rettangoli congruenti; il cubo, è un esaedro regolare perché ha sei facce tutte congruenti che sono dei quadrati.

Prisma quadrangolare regolare

Abbiamo visto che il nome di un prisma retto, per convenzione, viene assegnato in funzione del numero delle sue facce.
Abbiamo anche visto che un prisma regolare con sei facce è detto esaedro o comunemente cubo.
È possibile sempre costruire un prisma con 6 facce non tutte congruenti tra loro.
Un particolare tipo di prisma retto è quello in cui il poligono regolare di base è un quadrato, e il poligono regolare che costituisce le facce laterali è il rettangolo.
Questo poliedro viene denominato: prisma quadrangolare regolare.
Le due basi quadrate sono congruenti tra loro, le quattro facce laterali rettangolari sono congruenti tra loro.
Il prisma quadrangolare regolare possiede 12 spigoli e otto vertici, tutti i suoi angoli diedri sono di 90°, possiede quattro diagonali tutte congruenti tra loro.
Il cubo può essere considerato un prisma quadrangolare regolare, che si ottiene quando lo spigolo laterale che rappresenta anche l’altezza coincide con lo spigolo di base.
Per ulteriori approfondimenti sul rettangolo vedi qua

Area e volume di un prisma

La superficie di un prisma regolare, è costituita da poligoni regolari quindi per calcolarne l'area bisogna sommare le aree di tutti questi poligoni.
La superficie di base è la somma delle aree delle due basi.
La superficie laterale è la somma dell'area delle sue facce.
La superficie totale si ottiene sommando quella di base è quella laterale.
Facciamo riferimento alla seguente simbologia per scrivere tutte le formule che ci servono:
superficie di base
superficie laterale
superficie totale
volume
perimetro della base
altezza del prisma
L’area di base è l’area del poligono di base, la formula dipende dalla figura che può essere un rettangolo, un rombo, un pentagono etc.
Ricordiamo che quest’area va conteggiata due volte perché le basi sono due.

La superficie laterale si ottiene moltiplicando il perimetro della figura di base per l’altezza del prisma:

La superficie totale è la somma di entrambe:

Il volume di un prisma si ottiene come prodotto tra l’area di base e la sua altezza:

ancora una volta la formula dell’arra di base dipende dalla forma del poligono.

Problemi svolti sul calcolo di area e volume del prisma retto

Problema 1
Abbiamo un prisma che ha per base un triangolo rettangolo, le cui misure dei lati sono: a=51 cm, b=35 cm, c=6 cm. L’altezza del prisma misura 42 cm.
Calcolare:
Perimetro di base
Area laterale
Area di base
Area totale
Volume
Svolgimento
Perimetro di base = Somma dei lati

Area laterale

Area di base

Area totale

Volume

Problema 2
È dato un parallelepipedo di cui sono note le due dimensioni di base e l'altezza si chiede di calcolare la misura della superficie totale e il suo volume.
Dati
a=28 cm
b=3 cm
h=24 cm
Svolgimento
Area totale

Volume

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo di area e volume dei parallelepipedo vedi qua