_stan
di _stan
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La funzione cotangente
[math]y = \cot x[/math]

Consideriamo sulla circonferenza goniometrica l’arco AP cui corrisponde l’angolo
[math]\alpha[/math]
, e la retta r passante per O (origine del sistema di riferimento cartesiano) e per P; chiamiamo Q il punto di intersezione della retta r con la retta s, perpendicolare all’asse y e passante per B (0 ; 1).
Circonferenza goniometrica e retta perpendicolare all'asse y

L’ascissa del punto Q è detta cotangente dell’angolo

[math]\alpha[/math]
, e si scrive
[math]\cot \alpha[/math]
.

La tangente e la cotangente di un angolo sono legate dalla seguente relazione:

[math] \cot \alpha = \frac{1}{ \tan \alpha} [/math]

da cui:

[math] \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} [/math]

Da questa relazione, possiamo dedurre che la cotangente non è definita per alcuni valori di

[math]\alpha[/math]
; in particolare, deve essere:
[math] \sin\alpha \neq 0 \rightarrow \alpha \neq k \pi [/math]

Quindi, possiamo affermare che la cotangente di un angolo non è definita in tutti gli angoli multipli di

[math]\pi[/math]
.

Questo fatto può essere notato anche considerando il grafico della cotangente: infatti, esso presenta infiniti asintoti, che hanno equazioni

[math]x = k\pi[/math]
.
Grafico della funzione cotangente
Così come la tangente, anche la funzione cotangente è simmetrica rispetto all’origine, ed è quindi una funzione dispari; si ha infatti che:
[math]\cot (- x) = - \cot x [/math]

La funzione secante
[math]y=\sec x[/math]
e la funzione cosecante
[math]y=\csc x[/math]

Consideriamo sulla circonferenza goniometrica un punto P, e la retta t tangente alla circonferenza nel punto P; chiamiamo i punti di intersezione della rette t con gli assi cartesiani B ed S.
Circonferenza goniometrica e retta tangente in un punto della circonferenza
L’ascissa del punto S è detta secante di
[math]\alpha[/math]
, e si indica
[math]\sec \alpha[/math]
; mentre, l’ordinate del punto C è detta cosecante di
[math]\alpha[/math]
, e si scrive
[math]\csc \alpha[/math]
(oppure
[math]\text{\cosec}\alpha[/math]
).

La funzione secante

La secante di un angolo equivale al reciproco del coseno di quell’angolo:
[math] \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} [/math]

Da questa relazione, possiamo dedurre che la secante non è definita per quei valori dell’angolo che annullano il coseno, quindi:

[math] cos alpha \neq 0 \rightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k \pi [/math]

Il grafico della secante, quindi, presenterà degli asintoti verticali di equazioni

[math] x = \frac{pi}{2} + k\pi [/math]

La funzione è periodica di periodo

[math]2\pi[/math]
, ed essendo reciproca della funzione coseno, è maggiore o uguale, in valore assoluto, ad 1:
[math] |\sec \alpha| \gt 1 \rightarrow \alpha \le -1 \vee \sec \alpha \ge 1 [/math]

La funzione, quindi, si trova al di sopra della retta

[math]y = 1[/math]
, e al di sotto della retta
[math]y = -1[/math]
.

Il suo grafico è il seguente:
Grafico della funzione secante

La funzione cosecante

La cosecante di un angolo equivale al reciproco del seno di quell’angolo:
[math] \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} [/math]

Da questa relazione, possiamo dedurre che la cosecante non è definita per quei valori dell’angolo che annullano il seno, quindi:

[math] \sin \alpha \neq 0 \rightarrow \alpha \neq k\pi [/math]

Il grafico della cosecante, presenta dunque degli asintoti verticali di equazioni

[math] x = k \pi [/math]

Anche la funzione cosecante è periodica di periodo

[math]2\pi[/math]
, ed essendo reciproca della funzione seno, è anch’essa maggiore o uguale, in valore assoluto, ad 1:
[math] |\csc\alpha| \ge 1 \rightarrow \csc \alpha \le -1 \vee \csc \alpha \ge 1 [/math]

La funzione, quindi, si trova al di sopra della retta

[math]y = 1[/math]
, e al di sotto della retta
[math]y = -1 [/math]
.

Il suo grafico è il seguente:
Grafico della funzione cosecante

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione: Le funzione goniometriche: seno, coseno, tangente e cotangente.

Videolezione: Le funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente, cotangente

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