Curve goniometriche

Curve deducibili

Conoscendo i grafici delle funzioni goniometriche elementari ((y=\sin(x), y=cos(x), y=\tan(x), ldots)), possiamo costruire i grafici di alcune curve goniometriche che derivano da queste.

Grafico della funzione (y = \sin (- x) = - \sin x)

Notiamo che la funzione in questione si può ottenere dalla funzione elementare (y = \sin x) cambiando semplicemente

in ; quindi, la funzione (y = \sin (- x)) è la curva simmetrica, rispetto all'asse y, della curva (y = \sin x):

Grafico della funzione (y = \sin | x |)

Ricordando il significato di valore assoluto, sappiamo che:

[ \sin|x| = \begin{cases} \sin x ,,,, \text{se} ,,,, x ge 0 \ \sin(-x) ,,,, \text{se} ,,,, x le 0 end{cases} ]

Quindi, il grafico della funzione (y = \sin | x |) sarà uguale al grafico della funzione (y = \sin x) in tutti i punti del piano cartesiano in cui si ha (x ge 0 ), mentre nei punti in cui (x le 0 ), essa sarà uguale al grafico di (y = \sin (-x )):

Grafico della funzione (y = | \sin x |)

Anche in questo caso, per la definizione di valore assoluto, si ha:

[ |\sin x| = \begin{cases} \sin x ,,,, \text{se} ,,,, \sin x ge 0 \ -\sin x ,,,, \text{se} ,,,, \sin x le 0 end{cases} ]

Quindi, la funzione presenterà lo stesso grafico della funzione (y = \sin x) dove la funzione (y = \sin x) è positiva (cioè si trova al di sopra dell'asse x ), mentre, dove questa è negativa, la funzione assumerà lo stesso grafico della funzione (y = - \sin x).

Ragionamenti simili possono essere fatti anche per la funzione (y = cos x); vediamo quindi le principali funzioni che si possono ricavare:

Grafico della funzione (y = cos (- x) = cos x)

La funzione (y = cos x) è una funzione pari, e una delle sue caratteristiche è proprio il fatto che (f ( -x ) = f (x)); quindi, il grafico della funzione (y = cos (-x)) coincide proprio con il grafico di (y = cos x).

Grafico della funzione (y = cos | x |)

Per la definizione di valore assoluto, sappiamo che:

[ cos|x|=\begin{cases} cos x ,,,, \text{se} ,,,, x ge 0 \ cos(-x) ,,,, \text{se} ,,,, x le 0 end{cases} ]

Sapendo, però, che il grafico della funzione (y = cos (-x)) coincide con il grafico della funzione (y = cos x), si ha che in ogni punto del piano cartesiano la funzione (y = cos | x |) coincide con la funzione (y = cos x).

Grafico della funzione (y = | cos x |)

Anche in questo caso, per la definizione di valore assoluto, si ha:

[ |cos x| = \begin{cases} cos x ,,,, \text{se} ,,,, cos x ge 0 \ -cos x ,,,, \text{se} ,,,, cos x le 0 end{cases} ]

Quindi, la funzione presenterà lo stesso grafico della funzione (y = cos x) dove la funzione (y = cos x) è positiva, mentre, dove questa è negativa, la funzione assumerà lo stesso grafico della funzione (y = - cos x), cioè la funzione simmetrica di (y = cos x) rispetto all'asse

:

Curve di equazione (y = a \sin x, y = a cos x)

Le funzioni di questo tipo, per alcuni valori di

, si possono ottenere moltiplicando i rispettivi valori delle funzioni elementari per stesso; quindi, le funzioni hanno: periodo (2pi), massimo uguale a e minimo uguale a ; abbiamo quindi due casi:

• le funzioni (y = a \sin x, y = a cos x) risultano dilatate, nella direzione dell'asse
  [math]y[/math]
  , rispetto alle elementari di un fattore
  [math]|a|[/math]
  se (|a| gt 1);
• le funzioni (y = a \sin x, y = a cos x) risultano compresse, nella direzione dell'asse
  [math]y[/math]
  , rispetto alle elementari di un fattore
  [math]|a|[/math]
  se (0 lt |a| lt 1).

Curve di equazione (y = \sin(bx), y = cos(bx))

Così come le funzioni elementari, anche le funzioni (y = \sin(bx), y = cos(bx)) hanno massimo uguale a 1 e minimo uguale a - 1, in tutto l'asse reale.

Il periodo di queste funzioni può essere ottenuto mediante la formula:

[ T=frac{2pi}{b} ]

Di conseguenza, queste funzioni presentano, in base al coefficiente

, una diminuzione o un aumento del periodo rispetto alle funzioni di partenza.