Equazioni goniometriche

Equazioni lineari in sin x e cos x

Le equazioni lineari in sen x e cos x possono presentarsi in questo modo:

[ a \sin x + b cos x + c = 0 ,,,, , ,,,, a, b, c in mathbb{R} ]

Distinguiamo tre casi:

• (a = 0, b
  e 0): in questo caso, l'equazione diventa (b cos x + c = 0), da cui abbiamo: [ cos x = -frac{c}{b} ] che è, quindi, un'equazione elementare della forma (cos x = m); come abbiamo visto in precedenza, le soluzioni di questo tipo di equazione sono date dagli angoli del tipo: [ x = pm alpha + 2kpi ] essendo (alpha) una soluzione dell'equazione.
• (a
  e 0, b = 0): in questo caso, l'equazione diventa (a \sin x + c = 0), e quindi si ha: [ \sin x = -frac{c}{a} ] anche in questo caso, abbiamo un'equazione elementare del tipo (\sin x = m); come sappiamo, le soluzioni di questo tipo di equazione sono date dagli angoli del tipo: [ x=alpha+2kpi ,,,, \text{e},,,, x = pi - alpha + 2kpi ] essendo (alpha) una soluzione dell'equazione.
• (a
  e 0, b
  e 0): in questo caso, non possiamo risolvere l'equazione in maniera immediate come in precedenza; vediamo, allora, alcuni procedimenti risolutivi, algebrici e grafici.

Risoluzione algebrica

Le equazioni lineari in sen x e cos x possono essere risolte ricorrendo alle formule parametriche di seno e coseno; ricordiamo, quindi, che valgono le seguenti relazioni per ogni (x
e pi + 2kpi):

[ \sin x = frac{2t}{1+t^2} ,,,, , ,,,, cos x = frac{1-t^2}{1+t^2} ]

essendo (t = \tan ( x/2 )).

Per risolvere l'equazione lineare, quindi, basta sostituire, all'equazione, (\sin x) e (cos x ) in funzione di

; dobbiamo risolvere la seguente equazione: [ a cdot frac{2t}{1+t^2} + b cdot frac{1-t^2}{1+t^2} + c = 0 ] che, svolgendo alcuni passaggi, diventa la seguente: [ 2at + b - bt^2 + c + ct^2 = 0 ]

Da cui otteniamo: [ (c - b) t^2 + 2at + b + c = 0 ]

Tuttavia, i valori che abbiamo escluso in precedenza potrebbero essere soluzioni dell'equazione, e in tal caso non verrebbero trovati risolvendo l'equazione in

; dobbiamo, perciò, controllare se essi, sostituiti all'incognita, rendono l'equazione un'uguaglianza vera: [ a\sin(pi + 2kpi) + bcos(pi + 2kpi) + c = 0 ]

Questa uguaglianza risulta vera solo nel caso in cui ( b = c ).

Esempio: Risolviamo la seguente equazione lineare: ( cos x + \sin x - 1 = 0 )

Sostituiamo nell'equazione le formule parametriche di seno e coseno, ricordando che esse valgono per ( x
e pi + 2kpi ):

( displaystyle frac{2t}{1+t^2} + frac{1-t^2}{1+t^2} - 1 = 0 )

Risolviamo l'equazione e troviamo il valore di

:

( 2t + 1 - t^2 - 1 - t^2 = 0 )

( 2t^2 - 2t = 0 \rightarrow t(t-1) = 0 \rightarrow t = 0 vee t = 1 )

Sapendo che (t = \tan (x/2)), abbiamo che:

( displaystyle \tan frac{x}{2} = 0 vee \tan frac{x}{2} = 1 )

Da questa relazione, possiamo ricavare il valore di

:

( displaystyle \tan frac{x}{2} = 0 \rightarrow frac{x}{2} = k pi \rightarrow x = 2kpi )

( displaystyle \tan frac{x}{2} = 1 \rightarrow frac{x}{2} = frac{pi}{4} + kpi \rightarrow x = frac{pi}{2} + 2kpi )

Controlliamo, ora, che i valori che abbiamo escluso in precedenza non siano soluzione dell'equazione:

( cos(pi + 2kpi) + \sin(pi + 2kpi) - 1 = 0 )

Svolgendo i calcoli, otteniamo:

( -1 - 1 = 0 )

che è un'uguaglianza falsa; possiamo, quindi, concludere che questi valori di

non sono soluzioni dell'equazione.

Risoluzione grafica

Sappiamo che (\sin x) e (cos x) rappresentano l'ordinata e l'ascissa di un punto P, estremo dell'arco corrispondente all'angolo x; poniamo, quindi:

[ \sin x = Y ,,,, , ,,,, cos x = X ]

Ricordando la relazione fondamentale della goniometria, possiamo impostare un sistema di questo tipo:

[ \begin{cases} aX + bY + c = 0 \ X^2 + Y^2 = 1 end{cases} ]

Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di intersezione della circonferenza goniometrica con la retta di equazione (aX + bY + c = 0); una volta che abbiamo trovato questi punti, che corrispondono al seno e al coseno all'angolo x, possiamo facilmente ricavare

.

Esempio: Risolviamo per via grafica l'equazione dell'esempio precedente: ( cos x + \sin x - 1 = 0 )

Poniamo (cos x = X) e (\sin x = Y), e impostiamo il sistema:

( \begin{cases} X + Y - 1 = 0 \ X^2 + Y^2 = 1 end{cases} )

Risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione:

( \begin{cases} X = -Y + 1 \ X^2 + Y^2 = 1 end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = -Y + 1 \ (-Y+1)^2 + Y^2 = 1 end{cases} )

( \begin{cases} X = -Y + 1 \ Y^2 + 1 - 2Y + Y^2 = 1 end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = -Y + 1 \ Y^2 - Y = 0 end{cases} )

( \begin{cases} X = -Y + 1 \ (Y-1) Y = 0 end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = -Y + 1 \ Y = 0 vee Y = 1 end{cases} )

Troviamo i rispettivi valori di

:

( \begin{cases} X = 1 vee X = 0 \ Y = 0 vee Y = 1 end{cases} )

Notiamo che questi punti rappresentano i punti di intersezione della circonferenza goniometrica con la retta di equazione

: I punti e sono gli estremi degli archi:

( x = 2kpi ,,,, \text{e} ,,,, x = frac{pi}{2} + 2kpi )

Che rappresentano pertanto le soluzioni dell'equazione.