Formule parametriche, di Werner e prostaferesi

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In questo appunto vengono approfondite e spiegate alcune relazioni e formule importanti del seno e del coseno: le formule di bisezione, le formule parametriche razionali, le formule di Werner, le formule di prostaferesi e le formule di somma e differenza delle funzioni trigonometriche.

Formule di bisezione

Le formule di bisezione sono delle formule che contengono le principali funzioni trigonometriche e che permettono di esprimere in modo differente le funzioni che hanno come argomento la metà di un angolo.
Tali funzioni sono utili, ad esempio, quando si deve risolvere un’equazione contenente le funzioni trigonometriche di un angolo (α) e di un angolo (

[math]\frac{α}{2}[/math]

), utilizzando queste formule di bisezione è possibile esprimere tutte le funzioni nell’unica incognita α.
Riportiamo in seguito le formule di bisezione per le funzioni trigonometriche principali quali il seno, il coseno e la tangente.

[math]sin(\frac{α}{2}) =\pm \sqrt{ \frac{1-cosα}{2}}[/math]

[math]cos(\frac{α}{2}) =\pm \sqrt{ \frac{1+cosα}{2}}[/math]

[math]tan(\frac{α}{2}) =\pm \sqrt{ \frac{1-cosα}{1+cosα}}[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle formule di bisezione vedi anche qua

Formule parametriche razionali

Dalla formula di bisezione della tangente, sappiamo che valgono, contemporaneamente, le seguenti due relazione, cha possiamo scrivere in un sistema:

[math]\begin{cases} \frac{α}{2} = \frac{1-cosα}{sinα} \\ \frac{α}{2} = \frac{sinα}{1+cosα} \end{cases}[/math]

In tale sistema si può notare come si sia utilizzato solamente l’angolo che era ad argomento della tangente anziché utilizzare la funzione tangente.
In genere per angoli molto piccoli è possibile approssimare la funzione tangente con l’argomento della funzione stessa:

[math]tangα \sim α[/math]

Tale approssimazione può essere eseguita in modo analogo alla funzione seno; possiamo quindi affermare che per angoli piccoli si ha che:

[math]senα \sim α[/math]

Nel caso del coseno è importante prestare attenzione in quanto non è possibile eseguire la stessa approssimazione, per il coseno vale la seguente approssimazione:

[math]cosα \sim 1 - \frac{θ^2}{2}[/math]

Consideriamo quindi le relazioni di bisezioni per la tangente nel caso approssimato e per comodità, chiamiamo (t=α/2); risolviamo il sistema e ricaviamo le funzioni goniometriche principali in funzione di t:

[math]\begin{cases} t = \frac{1-cosα}{sinα} \\ t = \frac{sinα}{1+cosα} \end{cases}
\rightarrow
\begin{cases} sinα=\frac{2t}{1+t^2} \\ cosα = \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{cases}[/math]

Le relazioni che abbiamo determinato vengono definite formule parametriche razionali, e possono essere utilizzate per risolvere equazioni e disequazioni goniometriche.
Per ulteriori approfondimenti sui sistemi di equazioni lineari e la loro risoluzione vedi anche qua

Formule di Werner

Le formule di Werner si ricavano a partire dalle formule di addizione e sottrazione del seno e del coseno, e ci permettono di risolvere determinate scritture quando abbiamo a che fare con il prodotto del seno e del coseno di un angolo; le formule sono le seguenti:

[math]cosα sinη=\frac{1}{2}[sin(α+η)-sin(α-η)][/math]

[math]cosα cosη=\frac{1}{2}[cos(α+η)+cos(α-η)][/math]

[math]sinα sinη=\frac{1}{2}[cos(α-η)-cos(α+η)][/math]

Da tali formule si può notare come il seno (o il coseno) della somma (o della differenza) di due angoli non corrisponda alla semplice somma (o differenza) del seno (o del coseno) degli angoli.
In modo analogo si può anche notare che il prodotto di due funzioni trigonometriche non equivale alla funzione trigonometrica che ha come argomento il prodotto degli argomenti delle funzioni trigonometriche di partenza.

Formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi ci permettono di calcolare le funzioni goniometriche di angoli particolari, di cui conosciamo le seguenti relazioni:

[math]\begin{cases} α+η=p \\ α-η=q \end{cases}
\rightarrow \begin{cases} α=\frac{p+q}{2} \\ η=\frac{p-q}{2} \end{cases}[/math]

Le formule di prostaferesi sono le seguenti:

[math]sin p + sin q = 2sin \frac{p+q}{2} cos \frac{p-q}{2}[/math]

[math]cos p + cos q = 2 cos \frac{p+q}{2} cos\frac{p-q}{2}[/math]

[math]sin p - sin q = 2cos \frac{p+q}{2}sin \frac{p-q}{2}[/math]

[math]cos p - cos q = 2 sin \frac{p+q}{2}sin \frac{p-q}{2}[/math]

Le formule di prostaferesi si ricavano considerando le formule di addizione e di sottrazione delle funzioni trigonometriche ed eseguendo la somma o la differenza delle opportune formule del seno o del coseno, se non ci si ricorda le formule di prostaferesi è quindi possibile ricavarle utilizzando il modo appena descritto.

Formule di addizione e di sottrazione delle funzioni trigonometriche

Una funzione trigonometrica che ha come argomento una somma o una differenza di angoli non equivale alla semplice somma o differenza delle funzioni trigonometriche dei singoli angoli.
Riportiamo in seguito le formule che permettono di esprimere il coseno o il seno di una somma o di una differenza di angoli.

[math]sin(α+β)= sinα cosβ + sinβ cosα[/math]

[math]cos(α+β)= cosα cosβ – sinβ sinα[/math]

[math]sin(α-β)= sinα cosβ - sinβ cosα[/math]

[math]cos(α-β)= cosα cosβ + sinβ sinα[/math]

Se consideriamo le formule di somma e differenza delle funzioni trigonometriche e se consideriamo ad esempio la prima formula di prostaferesi.

[math]sin p + sin q = 2sin \frac{p+q}{2} cos \frac{p-q}{2}[/math]

Dato che p corrisponde alla somma di due angoli mentre q corrisponde alla differenza degli angoli, è possibile considerare la formula di somma e differenza del coseno ed eseguire la somma, otteniamo quindi:

[math]sin(α+β) + sin(α-β) = sinα cosβ + sinβ cosα + sinα cosβ - sinβ cosα[/math]

è ora possibile riarrangiare l’espressione a destra dell’uguale: i termini sinβ cosα si elidono in quanto sono termini simili e di segno opposto, mentre i termini sinα cosβ sono uguali e si sommano; si ottiene quindi:

[math]sin(α+β) + sin(α-β) = 2 sinα cosβ[/math]

Se ora ricordiamo che:

[math]α=\frac{p+q}{2}[/math]

[math]η=\frac{p−q}{2}[/math]

possiamo ora facilmente ottenere la prima formula di prostaferesi.

Tutte le proprietà e le formule che sono state riportate in questo appunto possono essere molto utili per risolvere problemi o equazioni riguardanti le funzioni trigonometriche, tali formule possono essere utilizzate per semplificare l’espressione contenente le formule trigonometriche o per ricondurre tutte le funzioni allo stesso argomento.
Oltre a tali formule è possibile utilizzare le proprietà delle funzioni trigonometriche o la relazione fondamentale che lega il coseno al quadrato al seno al quadrato.

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