Funzione Tangente: definizione, rappresentazione e proprietà

La Funzione Tangente

Consideriamo, sulla circonferenza goniometrica, un angolo compreso tra e , e un punto P sulla circonferenza, tale che l'arco AP coincida con l'angolo . Adesso tracciamo una retta r passante per O e P, e una retta t perpendicolare all'asse x e passante per A; tali rette si intersecheranno in un punto che chiamiamo T.

L’ordinata del punto T si definisce tangente dell'angolo

, e si scrive

.
È importante notare che l'intersezione tra le rette r e t esiste sempre, ad eccezione del caso in cui queste sono parallele; ciò si verifica per tutti gli angoli del tipo , ecc.
Nel prossimo paragrafo vedremo come varia il valore della tangente al variare dell’angolo .

Periodicità della Funzione Tangente

Come tutte le funzioni goniometriche, (come le funzioni seno e coseno), anche la funzione tangente presenta una periodicità, ovvero assume gli stessi valori per diversi valori di . Vediamo ora nel dettaglio quali sono questi valori e con quale periodicità si ripetono, oltre ai valori massimi e minimi entro cui può variare la tangente.

• Primo caso:
  [math]\alpha=0 \Rightarrow \tan{ 0} = 0 [/math]

  Oppure
  

  [math]\alpha = 2 \pi \Rightarrow \tan{ 2\pi} = 0 [/math]

  il punto T coincide con il punto A e le rette t ed r sono perpendicolari tra loro. Inoltre, questa condizione si può verificare anche nel caso in cui

  [math]\alpha=\pi \Rightarrow \tan {\pi} = 0 [/math]
• Secondo caso:
  [math] 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan{\alpha} \gt 0 [/math]

  il punto T appartiene al primo quadrante. Possiamo vedere che in questo caso la tangente aumenta all'aumentare dell’ampiezza dell’angolo, così come nel terzo quadrante dove

  [math] \pi \lt \alpha \lt \frac{3}{2}\pi \Rightarrow \tan{\alpha} \gt 0 [/math]
• Terzo caso:
  [math] \frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi \Rightarrow \tan{\alpha} \lt 0 [/math]

  Il punto T appartiene al secondo quadrante e, partendo da un valore negativo, all'aumentare dell'ampiezza nell'angolo, aumenta la sua tangente che si avvicina sempre più allo zero. Tuttavia, questo succede anche quando
  

  [math] \frac{3}{2}\pi \lt \alpha \lt 2\pi \Rightarrow \tan{\alpha} \lt 0 [/math]

  Cioè nel quarto quadrante.

• Quarto caso:
  [math] \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan{\alpha} =+\infty [/math]

  questo è il caso in cui le due rette r e t sono parallele tra loro, di conseguenza non c è nessun punto in cui queste si incontrano e il valore della tangente è pari a

  [math]+ \infty [/math]
  . La stessa situazione si verifica quando
  [math] \alpha = -\frac{\pi}{2}[/math]
  , tuttavia in questo caso il valore della tangente è negativo quindi avremo
  [math] \tan{\alpha} =-\infty [/math]

In base a quanto visto possiamo dire che la funzione tangente è una funzione periodica tale che:

Poiché i valori assunti dalla tangente nell'intervallo

sono gli stessi che assume nell'intervallo . Quindi possiamo generalizzare e scrivere che: dove , cioè appartiene all’insieme dei numeri naturali . Ciò significa che la funzione tangente è periodica di periodo

[math]\pi[/math]

.
Ricordiamo inoltre che la tangente non è definita per alcuni valori di , ovvero quando :

con .

In particolare, vediamo che man mano l'angolo

, appartenente al primo quadrante, si avvicina a , la sua tangente aumenta mentre il punto T si allontana dall'asse x. Quindi, possiamo affermare che il limite di , per che tende a è uguale a , e si scrive:

Con un ragionamento analogo, si può affermare che il limite di

, per che tende a è uguale a ,
di , per che tende a , restando maggiore di , è uguale a , e si scrive:

Nel prossimo paragrafo è presente una rappresentazione grafica di quanto detto finora.

Grafico della funzione tangente

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, la tangente è una funzione periodica, di periodo , di conseguenza possiamo rappresentare la funzione in un grafico mettendo in ascissa il valore dell’angolo e in ordinata il corrispettivo valore della tangente. In particolare, per la sua periodicità possiamo dire che si ripeterà lo stesso andamento dell'intervallo () lungo tutto l'asse x.
Inoltre, nei punti in cui la tangente non è definita, possiamo tracciare delle rette verticali, perpendicolari all'asse x, che rappresentano i cosiddetti asintoti della curva: la funzione tangente si avvicinerà sempre di più ad essi, senza mai toccarli mai.

Dal grafico possiamo notare che la funzione

è una funzione dispari, poiché il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi. Si ha quindi che:

A questo punto vedremo invece, nel prossimo paragrafo, quale relazione intercorre tra la tangente e il coefficiente angolare di una retta.

Relazione tra tangente e coefficiente angolare di una retta

Il coefficiente angolare di una retta, esprime la pendenza di una retta rispetto all’asse delle ascisse, e può essere calcolata tramite il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto qualunque appartenente a tale retta.

Consideriamo adesso le rette r e t che abbiamo rappresentato precedentemente sulla circonferenza goniometrica. Poiché il punto T, di coordinate

appartiene alla retta r, possiamo affermare che il coefficiente angolare della retta r è dato da:

Possiamo applicare lo stesso ragionamento considerando il punto P, anch'esso appartenente alla retta r, e di coordinate

, e quindi il coefficiente angolare sarà:

Da ciò, possiamo affermare che il coefficiente angolare di una retta r è la tangente goniometrica dell'angolo orientato di misura

che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse; inoltre si ha che

[math]\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}[/math]

.

Approfondimenti

In questo paragrafo sono presenti dei link di approfondimento riguardante gli argomenti trattati nei paragrafi precedenti.
Goniometria
limite
asintoto verticale