La Funzione Tangente
Consideriamo, sulla circonferenza goniometrica, un angolo
L’ordinata del punto T si definisce tangente dell'angolo
È importante notare che l'intersezione tra le rette r e t esiste sempre, ad eccezione del caso in cui queste sono parallele; ciò si verifica per tutti gli angoli del tipo
Nel prossimo paragrafo vedremo come varia il valore della tangente al variare dell’angolo
Periodicità della Funzione Tangente
Come tutte le funzioni goniometriche, (come le funzioni seno e coseno), anche la funzione tangente presenta una periodicità, ovvero assume gli stessi valori per diversi valori di- Primo caso: [math]\alpha=0 \Rightarrow \tan{ 0} = 0 [/math]
Oppure
[math]\alpha = 2 \pi \Rightarrow \tan{ 2\pi} = 0 [/math]il punto T coincide con il punto A e le rette t ed r sono perpendicolari tra loro. Inoltre, questa condizione si può verificare anche nel caso in cui
[math]\alpha=\pi \Rightarrow \tan {\pi} = 0 [/math] - Secondo caso: [math] 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan{\alpha} \gt 0 [/math]
il punto T appartiene al primo quadrante. Possiamo vedere che in questo caso la tangente aumenta all'aumentare dell’ampiezza dell’angolo, così come nel terzo quadrante dove
[math] \pi \lt \alpha \lt \frac{3}{2}\pi \Rightarrow \tan{\alpha} \gt 0 [/math] - Terzo caso: [math] \frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi \Rightarrow \tan{\alpha} \lt 0 [/math]
Il punto T appartiene al secondo quadrante e, partendo da un valore negativo, all'aumentare dell'ampiezza nell'angolo, aumenta la sua tangente che si avvicina sempre più allo zero. Tuttavia, questo succede anche quando
[math] \frac{3}{2}\pi \lt \alpha \lt 2\pi \Rightarrow \tan{\alpha} \lt 0 [/math]Cioè nel quarto quadrante.
- Quarto caso: [math] \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \tan{\alpha} =+\infty [/math]
questo è il caso in cui le due rette r e t sono parallele tra loro, di conseguenza non c è nessun punto in cui queste si incontrano e il valore della tangente è pari a
[math]+ \infty [/math]. La stessa situazione si verifica quando[math] \alpha = -\frac{\pi}{2}[/math], tuttavia in questo caso il valore della tangente è negativo quindi avremo[math] \tan{\alpha} =-\infty [/math]
In base a quanto visto possiamo dire che la funzione tangente è una funzione periodica tale che:
Poiché i valori assunti dalla tangente nell'intervallo
Ricordiamo inoltre che la tangente non è definita per alcuni valori di
In particolare, vediamo che man mano l'angolo
Con un ragionamento analogo, si può affermare che il limite di
di
Nel prossimo paragrafo è presente una rappresentazione grafica di quanto detto finora.
Grafico della funzione tangente
Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, la tangente è una funzione periodica, di periodoInoltre, nei punti in cui la tangente non è definita, possiamo tracciare delle rette verticali, perpendicolari all'asse x, che rappresentano i cosiddetti asintoti della curva: la funzione tangente si avvicinerà sempre di più ad essi, senza mai toccarli mai.
Dal grafico possiamo notare che la funzione
A questo punto vedremo invece, nel prossimo paragrafo, quale relazione intercorre tra la tangente e il coefficiente angolare di una retta.
Relazione tra tangente e coefficiente angolare di una retta
Il coefficiente angolare di una retta, esprime la pendenza di una retta rispetto all’asse delle ascisse, e può essere calcolata tramite il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto qualunque appartenente a tale retta.
Consideriamo adesso le rette r e t che abbiamo rappresentato precedentemente sulla circonferenza goniometrica. Poiché il punto T, di coordinate
Possiamo applicare lo stesso ragionamento considerando il punto P, anch'esso appartenente alla retta r, e di coordinate
Da ciò, possiamo affermare che il coefficiente angolare di una retta r è la tangente goniometrica dell'angolo orientato di misura
Approfondimenti
In questo paragrafo sono presenti dei link di approfondimento riguardante gli argomenti trattati nei paragrafi precedenti.Goniometria
limite
asintoto verticale