Le funzioni seno e coseno

La circonferenza goniometrica

Consideriamo, in un riferimento cartesiano xOy, una circonferenza avente centro nell’origine degli assi, e raggio uguale a 1; la circonferenza prende il nome di circonferenza goniometrica.

 

Circonferenza goniometrica

 

Il punto A, di coordinate (0; 1), è detto origine degli archi; gli angoli che consideriamo sono rappresentati sulla circonferenza in modo da avere un lato coincidente con l’asse delle ascisse, e l’altro che interseca la circonferenza in un punto P.

Sapendo che l’ampiezza di un angolo in radianti è uguale alla lunghezza dell’arco corrispondente divisa per il raggio della circonferenza, e sapendo che il raggio della circonferenza goniometrica è 1, possiamo affermare che le lunghezze degli archi della circonferenza rappresentano le ampiezze, in radianti, dei rispettivi angoli.

Rappresentiamo, sulla circonferenza,i principali angoli:

 

Angoli principali sull circonferenza goniometrica

 

 

Le funzioni seno e coseno

Per ogni angolo \( \alpha \), compreso tra 0 e \( 2\pi \) radianti, consideriamo sulla circonferenza goniometrica il punto P, tale che l’arco AP sia uguale all’angolo \(\alpha\); definiamo seno e coseno di \(\alpha) rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto P.

Possiamo quindi scrivere: \[P(\cos \alpha; \sin \alpha)\]

Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio 1, il seno e il coseno di un angolo sono sempre minori di 1, e maggiori di -1:

\[ -1 \le \cos \alpha \le 1 \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall \alpha \in [0; 2\pi] \]

\[ -1 \le \sin \alpha \le 1 \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall \alpha \in [0; 2\pi] \]

In particolare, sapendo che la circonferenza goniometrica ha centro in O(0;0) e ha raggio 1, la sua equazione è la seguente:

\[ x^2+y^2=1 \]

da cui, possiamo ricavare la seguente relazione, che viene definita prima relazione fondamentale della goniometria:

\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \]

Possiamo determinare seno e coseno degli angoli principali applicando il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli individuati dai segmenti OP, OH e PH:

\[ \cos 30^{\circ} = \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \,\,;\,\,\cos 45^{\circ} = \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \,\,;\,\, \cos 60^{\circ} = \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \]

\[ \sin 30^{\circ} = \sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{1}}{2} \,\,;\,\, \sin 45^{\circ} = \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} \,\,;\,\, \cos 60^{\circ} = \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

 

Angoli di 30°, 45° e 60° sulla circonferenza goniometrica

 

 

Periodicità delle funzioni seno e coseno

Le funzioni seno e coseno vengono definite funzioni periodiche; infatti, possiamo notare che i valori che esse assumono nell’intervallo \([0 ; 2\pi]\), sono gli stessi che vengono assunti negli intervalli \(]2\pi ; 4\pi]\) , \(]4\pi ; 6\pi]\),…

Riassumendo, possiamo semplicemente scrivere:

\[ \cos\alpha = \cos(\alpha+2k\pi)\,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \]

\[ \sin\alpha = \sin(\alpha+2k\pi)\,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \]

 

Sinusoide e cosinusoide

Le funzioni seno e coseno possono essere rappresentate nel piano cartesiano come vere e proprie funzioni; per tracciare i lori grafici, si comincia tracciando il grafico della funzione in un piccolo intervallo, poi, sfruttando la periodicità della funzione stessa, si può tracciare la funzione su tutto l’asse reale.

 

Grafico funzione coseno nell'intervallo (0; π/2)

 

Consideriamo la funzione \(y = \cos x\); poiché la funzione passa per i punti \((0 ; 1) , (\pi/6 ; \sqrt{3}/2) , (\pi/4 ; \sqrt{2}/2) ; (\pi/3 ; 1/2) ; (\pi/2 ; 0)\), possiamo tracciare il suo grafico nell’intervallo \([0 ; \pi/2]\):

Sfruttando, poi, il fatto che la funzione è periodica, possiamo tracciare il grafico completo:

 

Grafico funzione coseno: cosinusoide

 

La funzione \(y = \cos x\) è detta cosinusoide; una delle sue caratteristiche è il fatto di essere una funzione pari: infatti, essa è simmetrica rispetto l’asse delle y, ed è tale che: \(\cos x = \cos (- x)\)

Allo stesso modo, possiamo tracciare il grafico della funzione \(y = \sin x\) nell’intervallo \([0 ; \pi/2]\), sapendo che esso passa per i punti \((0 ; 0), (\pi/6 ; 1/2),(\pi/4 ; \sqrt{2}/2) , (\pi/3 ; \sqrt{3}/2), (\pi/2 ; 1)\):

 

Grafico della funzione seno nell'intervallo (0; π/2)

 

Sapendo che la funzione è periodica, possiamo tracciare il grafico completo:

 

Grafico funzione seno: sinusoide

 

La funzione \(y = \sin x\) è detta sinusoide; a differenza della cosinusoide, la sinusoide è una funzione dispari: infatti, essa è simmetrica rispetto l’origine, ed è tale che:

\[\sin x = – \sin (-x) \]

 

Altro materiale di supporto

Guarda la videolezione: “Le relazioni fondamentali della goniometria” sul sito delle lezioni di Matematicamente.it.

Consulta il Formulario delle funzioni goniometriche a cura di Gianni Sammito.

 

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