La circonferenza goniometrica
Il concetto di funzione trigonometria di seno e coseno nasce a partire dalla circonferenza goniometrica.Consideriamo, in un sistema di riferimento cartesiano, una circonferenza avente come centro l'origine degli assi
[math]C(0;0)[/math]
, e raggio [math]R[/math]
unitario, ovvero uguale a [math]1[/math]
. La circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario prende il nome dicirconferenza goniometrica.La figura 1 mostra la circonferenza goniometrica.
Definizioni
Di seguito, alcune definizioni:- Il punto A, di coordinate [math](0; 1)[/math], è definito come origine degli archi.
- Gli angoli che consideriamo appartenenti alla circonferenza goniometrica sono rappresentati sulla circonferenza in modo tale da avere un lato coincidente con l'asse delle ascisse, e l'altro che interseca la circonferenza in un punto P.
- Sapendo che l'ampiezza di un angolo in radianti è uguale alla lunghezza dell'arco corrispondente divisa per il raggio della circonferenza, e sapendo anche che il raggio della circonferenza goniometrica è pari a 1, possiamo affermare che le lunghezze degli archi della circonferenza rappresentano le ampiezze in radiant dei rispettivi angoli.
Angoli nella circonferenza goniometrica
Avendo visto che le lunghezze degli archi della circonferenza sono le ampiezze in radianti degli archi, adesso andiamo a rappresentare sulla circonferenza i principali angoli(Figura 2):
Sono stati rappresentati diversi angoli, tra cui:
- Angolo [math] 0°[/math], ovvero[math]0 [/math]Radianti;
- Angolo [math] 45°[/math], ovvero[math]\frac{π}{4} [/math]Radianti;
- Angolo [math] 90°[/math], ovvero[math]\frac{π}{2}[/math]Radianti;
- Angolo [math] 180°[/math], ovvero[math]π [/math]Radianti;
- Angolo [math] 270°[/math], ovvero[math]\frac{3π}{2} [/math]Radianti;
- Angolo [math] 360°[/math], ovvero[math]2π [/math]Radianti;
Le funzioni seno e coseno
Per ogni angolo[math]\alpha[/math]
, che risulta essere compreso tra [math]0[/math]
e [math]2\pi[/math]
radianti, consideriamo sulla circonferenza goniometrica il punto P, tale che l'arco AP sia uguale all'angolo [math]\alpha[/math]
; definiamo la funziona coseno e la funzione seno di [math]\alpha[/math]
rispettivamente come l'ascissa e l'ordinata del punto P.Da qui si può andare quindi a scrivere le coordinate del punto P come segue:
[math]P(cos\alpha;sin\alpha)[/math]
Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio 1, il seno e il coseno di un angolo sono sempre minori di 1, e maggiori di -1. Ovvero il campo di esistenza delle funzioni seno e coseno sarà l'intervallo
[math][-1;1][/math]
, e le due funzioni saranno funzioni periodiche.
[math]{-1 \leq cos \alpha \leq 1 ,..., \forall \alpha \in [0; 2\pi]}[/math]
[math]{-1 \leq sin \alpha \leq 1 ,..., \forall \alpha \in [0; 2\pi]}[/math]
In particolare, sapendo che la circonferenza goniometrica ha centro in
[math]O(0;0)[/math]
e ha raggio 1, l'equazione della circonferenza goniometrica è la seguente:
[math]x^2+y^2=1[/math]
da cui, possiamo ricavare la seguente relazione, che viene definita prima relazione fondamentale della goniometria:
[math]cos^2\alpha+sin^2\alpha=1[/math]
Possiamo determinare seno e coseno degli angoli principali applicando il teorema di Pitagora ai triangoli rettangoli individuati dai segmenti
[math]OP[/math]
, [math]OH [/math]
e [math]PH[/math]
. Di seguito alcuni esempi numerici:
[math]cos 30° = cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2};[/math]
[math]cos 45° = cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2};[/math]
[math]cos 60° = cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2};[/math]
[math]sin 30° = sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{1}}{2};[/math]
[math]sin 45° = sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2};[/math]
[math]cos 60° = \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.[/math]
Periodicità delle funzioni seno e coseno
Le funzioni seno e coseno vengono definite funzioni periodiche; infatti, possiamo notare che i valori che esse assumono nell'intervallo[math][0 ; 2\pi][/math]
, sono gli stessi che vengono assunti negli intervalli [math]]2\pi ; 4\pi] , ]4\pi ; 6\pi],...[/math]
Riassumendo, possiamo semplicemente scrivere:
[math]cos\alpha = cos(\alpha+2k\pi);...; k \in \mathbb{Z}[/math]
[math]sin\alpha = sin(\alpha+2k\pi);...; k \in \mathbb{Z}[/math]
Sinusoide e cosinusoide
Le funzioni seno e coseno possono essere rappresentate nel piano cartesiano come vere e proprie funzioni; per tracciare i lori grafici, si comincia tracciando il grafico della funzione in un piccolo intervallo, poi, sfruttando la periodicità della funzione stessa, si può tracciare la funzione su tutto l'asse reale.
Consideriamo la funzione
[math]y = cos x[/math]
; poiché la funzione passa per i punti [math](0;1), (\frac{\pi}{6};\frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{\pi}{4}; \frac{\sqrt{2}}{2}); (\frac{\pi}{3};\frac{1}{2}); (\frac{\pi}{2};0)[/math]
, possiamo tracciare il suo grafico nell'intervallo [math][0;\frac{\pi}{2}][/math]
. Infine, sfruttando, poi, il fatto che la funzione è periodica, possiamo tracciare il grafico completo (figura):
La funzione
[math]y = cos x [/math]
è detta cosinusoide; una delle sue caratteristiche è il fatto di essere una funzione pari: infatti, essa è simmetrica rispetto l'asse delle y, ed è tale che:
[math]cos x = cos (- x)[/math]
Allo stesso modo, possiamo tracciare il grafico della funzione
[math] y = sin x [/math]
nell'intervallo [math][0 ; \frac{\pi}{2}][/math]
, sapendo che esso passa per i punti [math](0;0), (\frac{\pi}{6};\frac{1}{2}),(\frac{\pi}{4};\frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\pi}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{\pi}{2}; 1=[/math]
:
Sapendo che la funzione è periodica, possiamo tracciare il grafico completo:
La funzione
[math]y = sin x[/math]
è detta sinusoide; a differenza della cosinusoide, la sinusoide è una funzione dispari: infatti, essa è simmetrica rispetto l'origine, ed è tale che:
[math]sin x = - sin (-x)[/math]
Altro materiale di supporto
Guarda la videolezione: "Le relazioni fondamentali della goniometria" sul sito delle lezioni di Matematicamente.it.Consulta il Formulario delle funzioni goniometriche a cura di Gianni Sammito.
