_stan
di _stan
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In questo appunto di Trigonometria sono riportati i modi e le unità di misura utilizzati per misurare l’ampiezza di un angolo o un arco.

Misura degli angoli

Per misurare l'ampiezza di un angolo o di un arco di circonferenza si possono utilizzare diverse unità di misura le più usate sono la misura in gradi e la misura in radianti:
  • il grado corrisponde a 1/90 di un angolo retto, e si indica con il simbolo °;
  • il radiante è definito come il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza (qualsiasi) tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza, e si indica con rad.

La misura di un angolo in radianti, quindi, si ottiene dividendo la lunghezza dell'arco corrispondente, per il raggio della circonferenza:

[math] rad = \frac{l}{r} [/math]
.
Ovviamente, essendo una misura dell’angolo, entrambe le misure sono indipendenti dalla lunghezza o dal raggio della circonferenza in questione.
Inoltre, rappresentando la stessa “entità”, si può semplicemente passare da un’unità di misura all’altra, così come si può passare da Fahrenheit a Celsius nel caso della Temperatura, o da Pascal ad Atmosfere per la Pressione, o da Metri a Pollici per la distanza, e così via….
In particolare, per fare la conversione da gradi a radianti, basta sapere che 1° corrisponde a
[math]\frac{\pi}{180}[/math]
radianti. Quindi, possiamo dire che :
  • un angolo retto, cioè di 90°, misura
    [math]\frac{\pi}{2}[/math]
    radianti;
  • un angolo piatto, cioè di 180°, misura
    [math]\pi[/math]
    radianti;
  • un angolo giro, cioè di 360°, misura
    [math]2 \pi[/math]
    radianti.

Radianti e gradi sessagesimali

Nel paragrafo seguente vedremo come ricavare le misure di un angolo qualsiasi.

Formule di trasformazione

Conoscendo le misure di un angolo nelle due unità di misura viste nel paragrafo precedente, possiamo ricavare le misure di tutti gli altri angoli impostando una semplice proporzione.
[math] x° : rad = 180 : \pi [/math]
Quindi se vogliamo trovare il valore della misura di un angolo x in gradi, allora moltiplichiamo il valore dato in radianti per 180 e lo dividiamo per
[math]\pi[/math]
, cioè :
[math] x° =\frac{ rad \cdot 180} { \pi} [/math]
.
Viceversa, se vogliamo trovare il valore in radianti di un angolo x di cui conosciamo la misura in gradi, allora moltiplichiamo la misura in gradi per
[math]\pi[/math]
e dividiamo per 180, cioè:
[math] rad =\frac{ x° \cdot \pi} { 180} [/math]
.

Curiosità: Solitamente in trigonometria gli angoli, che siano misurati in gradi o in radianti, vengono indicati con le lettere dell’alfabeto greco, cioè

[math]\alpha, \beta, \gamma, \theta [/math]
ecc… come puoi notare però si utilizzano in corsivo, non in stampatello. Le lettere greche in stampatello, infatti vengono utilizzate per indicare le funzioni.

Nel paragrafo successivo sono riportati degli esempi per fissare meglio la proporzione appena vista.

Conversione da gradi a radianti e viceversa

Per quanto detto nel paragrafo precedente, un angolo di 90° misura
[math] \frac{\pi}{2} [/math]
radianti. La seguente proporzione, quindi, stabilisce il rapporto fra le misure generiche di un angolo in gradi e in radianti:
[math] rad : \alpha° = \frac{\pi}{2} : 90° [/math]

Pertanto, conoscendo la misura di un angolo in gradi, per ricavare la sua misura in radianti applichiamo la seguente formula:

[math] \ alpha ° = \frac{rad \cdot 90°}{\frac{\pi}{2}}=\frac{rad \cdot 90° \cdot 2}{\pi}=\frac{180 \cdot rad}{\pi} [/math]

Ne segue che:

[math] \boxed{\alpha° = \frac{180 \cdot \alpha}{\pi}} [/math]

Allo stesso modo, se conosciamo la misura di un angolo in radianti, possiamo calcolare la sua misura in gradi:

[math] rad = \frac{\alpha ° \cdot \frac{\pi}{2}}{90°} = \frac{\alpha° \cdot \pi}{2 \cdot 90} = \frac{\alpha°\cdot \pi}{180} [/math]
Quindi:
[math] \boxed{rad = \frac{\alpha° \cdot \pi}{180}} [/math]

Vediamo qualche esempio:

  • consideriamo un angolo di 30°, e calcoliamo la sua misura in radianti applicando direttamente la formula vista precedentemente, ovvero:
    [math] \alpha = \frac{alpha° \cdot \pi}{180} = \frac{30° \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{6} [/math]
    Un angolo di 30° gradi corrisponde quindi a
    [math] \frac{\pi} {6} [/math]
    radianti.
  • consideriamo l'angolo che misura 1 rad, e calcoliamo la sua ampiezza in gradi. Applichiamo la formula vista precedentemente:
    [math] \alpha° = \frac{180 \cdot \alpha}{\pi} = \frac{180 \cdot 1}{\pi} = \frac{180}{\pi} [/math]
    possiamo approssimare il valore di
    [math] \pi [/math]
    a 3.14, quindi otteniamo
    [math] \alpha° = \frac{180}{\pi} = \frac{180}{3,14} \cong 57,32° [/math]
    Quindi, un angolo di un radiante misura, circa 57,32° .
Finora abbiamo visto come misurare un angolo; nel prossimo paragrafo vedremo invece, come misurare un arco di circonferenza.

Lunghezza di un arco di circonferenza

Come abbiamo visto in precedenza, la misura di un angolo in radianti è espressa come il rapporto fra l'arco ad esso corrispondente e il raggio della circonferenza stessa. Quindi, se conosciamo la misura di un angolo in radianti, possiamo facilmente ricavare la lunghezza dell'arco corrispondente all'angolo in questione semplicemente facendo la formula inversa, ovvero:
[math]\alpha = \frac{l}{r} \rightarrow \boxed{l = \alpha \cdot r} [/math]

Come possiamo notare, al contrario della misura di un angolo, la misura o lunghezza di un arco di circonferenza, dipende dal raggio della circonferenza in quastione. In particolare, questi sono direttamente proporzionali: tanto più grande sarà il raggio, tanto più grande sarà la misura dell’arco.
Anche quando abbiamo la misura di un angolo in gradi, applicando la formula di trasformazione da gradi a radianti, possiamo calcolare semplicemente la misura dell'arco corrispondente all'angolo in gradi:

[math] l = \frac{\alpha° \cdot \pi}{180} \cdot r [/math]

N.B. Dire circonferenza o dire cerchio non è la stessa cosa. Il cerchio rappresenta la figura geometrica circolare (cioè l’intera figura), la circonferenza invece, è al perimetro del cerchio (cioè solo il bordo). Un arco di circonferenza infatti, è quella parte di circonferenza delimitata da un punto iniziale e un punto finale, un segmento curvo.

Dopo aver calcolato la misura di un angolo e il corrispettivo arco di circonferenza, possiamo passare, nel prossimo paragrafo, alla misura dell’area sottesa dall’arco di circonferenza.

Area del settore circolare

Consideriamo una circonferenza di raggio r, il settore circolare è quella regione di piano interna alla circonferenza, descritta da un angolo al centro
[math] \alpha [/math]
a cui corrisponde un arco di lunghezza l:
Area di un settore circolare
Se immaginiamo una circonferenza come una “pizza” o una “torta”, il settore circolare sarebbe una “fetta” dell’intera torta o pizza in questione. Inoltre, tra l'area del settore circolare (la fetta) e l'area del cerchio (la torta), sussiste la seguente relazione:
[math] \frac{\text{Area settore}}{\text{Area cerchio}} = \frac{\alpha}{2 \pi} [/math]

Quindi, se vogliamo ricavare l'area del settore circolare avremo che:

[math] \text{Area settore} =\frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \text{Area cerchio} [/math]

Sapendo che l'area del cerchio

[math]A_c[/math]
è dato dalla formula:
[math] A_c = \pi \cdot r^2 [/math]

l'area del settore circolare

[math]A_s[/math]
è pari a:
[math] A_s = \frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{\alpha \cdot r^2}{2} [/math]

possiamo anche esprimerla in funzione dell’arco di circonferenza, piuttosto che dell’angolo; tenendo presente che la misura dell'arco è data dal prodotto del raggio per l'angolo corrispondente, possiamo dire che:

[math] A_s = \frac{\alpha \cdot r^2}{2} = \frac{(\alpha \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{l \cdot r}{2} [/math]

Se l'angolo è espresso in gradi, possiamo ricavare l'area del settore circolare utilizzando la formula di conversione; si ha quindi:

[math] A_s = \frac{\alpha° \pi r^2 }{360°} [/math]
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