Integrali: calcolo degli integrali definiti e tabella integrali fondamentali

Questo appunto spiegherà il concetto di calcolo integrale, le relative proprietà fondamentali e infine si tratterà il calcolo per gli integrali definiti.

Il concetto di integrale

L’integrale è un operatore matematico, grazie al quale è possibile calcolare l’area sottesa ad una curva funzione qualsiasi.
Sia data una funzione continua e si voglia determinare l’area sottesa alla curva nell’intervallo . Il procedimento prevede un processo dinamico infinitesimale.
Si ripartisce l’intervallo da considerare in n parti infinitesime e per ciascuno di queste calcoliamo l’area del rettangolino. L'area totale sottesa alla curva sarà la somma di tutti questi rettangolini infinitesimi. Da cui si definisce l'integrale come il limite di questa entità per n parti che tende a zero, andando ad estendere il simbolo di sommatoria ad integrale, come una S allungata.

Per ulteriori approfondimenti sugli integrali vedi qui

Formula fondamentale del calcolo integrale

Sia una funzione reale di variabili reale definita in un intervallo . L’area sottesa alla curva sarà pari alla differenza della primitiva calcolata tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore.
La formula fondamentale del calcolo integrale ci permette di calcolare il valore effettivo dell'area sottesa dal grafico di , con dei semplici passaggi.
L'integrale definito di una funzione è uguale alla differenza dei valori assunti da una qualsiasi primitiva della funzione, rispettivamente nell'estremo superiore di integrazione e nell'estremo inferiore.

Vediamo come ricavare questa affermazione. Consideriamo una primitiva della funzione

, e chiamiamola . Possiamo esprimere questa primitiva nel seguente modo, per un determinato :

Se calcoliamo il valore di

nell'estremo a, otteniamo la seguente uguaglianza:

Calcoliamo, ora, il valore di

nell'estremo b dell'intervallo [a;b]:

e dall'uguaglianza precedente, possiamo scrivere:

Possiamo, quindi, ricavare il valore dell'integrale definito tra a e b della funzione f(x):

La scrittura precedente può anche essere rappresentata nel seguente modo:

Possiamo quindi affermare che il calcolo degli integrali definiti deriva dal calcolo degli integrali indefiniti. Per calcolare il valore di un integrale definito, quindi, determiniamo per prima cosa l'integrale indefinito della funzione

, trovando così l'insieme generico di tutte le sue primitive, e scegliamo tra tutte quella per cui . Successivamente, calcoliamo la differenza dei valori che tale primitiva assume negli estremi dell'intervallo in questione.

Integrali delle funzioni pari e dispari

Consideriamo una funzione dispari, cioè tale che:

Sappiamo che tale funzione è simmetrica rispetto all'origine.
Supponiamo di voler calcolare l'area che la funzione delimita nell'intervallo simmetrico

. Abbiamo allora il seguente integrale:

In questo caso, non sono necessari calcoli per stabilire il valore dell'integrale, ma solo ragionamenti dal punti di vista geometrico. Infatti, dobbiamo sommare le due aree A1 e A2, che hanno uguale estensione, e si trovano una al di sotto, e l'altra al di sopra dell'asse x. Sapendo che le aree delle figure che si trovano sotto le ascisse vengono indicate con il segno meno, abbiamo che l'area totale sarà nulla.

Vediamo ora il caso di una funzione

pari, cioè tale che ; tale funzione è simmetrica rispetto all'asse y.

Anche in questo caso, calcoliamo l'area che la funzione delimita nell'intervallo simmetrico

:

Notiamo ora che le aree A1 e A2 che dobbiamo sommare sono equivalenti, e trovandosi entrambe al di sopra dell'asse x, le loro misure avranno lo stesso segno. Possiamo concludere, quindi, che l'area totale sarà il doppio di una singola area.

Quando dobbiamo calcolare l'integrale di una funzione pari, quindi, è più semplice calcolare la sua area in metà intervallo, e poi moltiplicarla per due.

Area della parte di piano delimitata da due funzioni

Consideriamo due funzioni e , continue e tali che i loro grafici si intersecano in due punti A e B; le due figure, quindi, delimitano una parte di piano. Supponiamo che nell'intervallo , in cui è racchiusa tale parte:

L'area di piano considerata può essere calcolata come la differenza tra l'area della parte di piano compresa tra l'asse x e il grafico di

, e quella tra l'asse x e il grafico di . Possiamo, quindi, esprimere tale area come:

e, ricordando le proprietà degli integrali, possiamo esprimere tale differenza con un unico integrale:

Formule di trasformazione del calcolo integrale

Il calcolo degli integrali di una funzione può essere complesso. Ogni integrazione deve comunque seguire le seguenti regole della somma e differenza, del prodotto con una costante. Quando si ha l'integrale del prodotto tra due funzioni questo sarà risolvibile attraverso la regola dell'integrazione per parti.

Si considerino due funzioni

e :

• Integrale di una somma di funzioni:
  [math]\int_{a}^{b}[g(x)+f(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx[f(x)][/math]
• Integrale di una differenza:
  [math]\int_{a}^{b}[g(x)-f(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx[f(x)][/math]
• Integrale di un prodotto con una costante:
  [math]\int_{a}^{b}Kf(x)dx=K\int_{a}^{b}f(x)dx[/math]
• Integrale di prodotto tra due funzioni: Formula dell'integrazione per parti:
  [math]\int_{a}^{b}[g'(x) \cdot f(x)]dx= f'(x)g(x)-\int_{a}^{b}[g(x)f'(x)]dx[/math]

Integrali delle funzioni fondamentali

Di seguito riportiamo le derivate delle funzioni fondamentali.

[math]\begin{array}{c|c|c}\hline funzione & Integrale indefinito \\

\hline k & x\\

\hline x^{\alpha} & \frac{1}{\alpha+1} \ x^{\alpha+1} \\

\hline \frac{1}{x} & lnx \\

\hline e^{x} & e^x \\

\hline sin(x) & -cos(x) \\

\hline cos(x) & sin(x) \\

\hline \frac{1}{cos^2(x)} & tg(x) \\

\hline -\frac{1}{sin^2(x)} & cotg(x)\\

\hline \frac{1}{\sqrt(1-x^2)} & arcsin(x)\\

\hline -\frac{1}{\sqrt(1-x^2)} & arccos(x) \\

\hline \frac{1}{1+x^2} & arctg(x) \\

\hline - \frac{1}{1+x^2}& arccotg(x)\\

\end{array}[/math]