Integrali indefiniti: proprietà e integrazioni immediate

In questo appunto si affronteranno i temi relativi ai concetti matematici fondamentali del calcolo integrale, andando dapprima a definire il concetto di integrale e poi si proseguirà alla spiegazione della risoluzione degli integrali fondamentali.

Introduzione

Sia data la funzione , se è la derivata di , cioè se , la funzione si può andare a definire come primitiva di . Il calcolo degli integrali ci permetter di determinare la primitiva di una funzione, cio di determinare quella funzione che ammette .

Per approfondimenti sul concetto di calcolo della derivata e il rapporto incrementale, vedi qui .

Integrale indefinito

Si consideri ora una funzione , che è la primitiva di , cioè tale per che risulti . Sapendo che la derivata di una costante è nulla, possiamo dire che tutte le funzioni del tipo , dove una costante, sono primitive di .
La primitiva generale di una funzione, in questo caso , prende il nome di integrale indefinito di (che si dice funzione integranda), e si rappresenta con il simbolo:
Ricapitolando, l’integrale di un funzione è la funzione se e solo se la derivata di è la funzione ; in simboli, abbiamo quanto segue:

L’integrale indefinito, quindi, può essere considerato come l’operatore inverso della derivata di una funzione, infatti si associa alla funzione integranda

l’insieme di tutte e sole le funzioni primitive di stessa.
Osserviamo che, se risulta essere vero che la derivata di una funzione può non esistere in alcuni punti, la stessa cosa non vale per l’integrale. Infatti, di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato esistono sempre le funzioni primitive, anche se in alcuni casi risulta essere difficile andare a determinare l’espressione analitica della primitiva. Questo sta dietro al significato proprio di integrale, ovvero che non è altro che l’area sottesa alla curva, quindi anche nel caso di funzioni non continue, comunque è possibile andare ad individuare l’area sottesa a quella curva rappresentativa della funzione.

Proprietà degli integrali indefiniti

Gli integrali indefiniti godono di alcune importanti proprietà, che sono riportate qui di seguito:

• Una costante moltiplicativa può essere trasportata dentro e fuori del segno di integrale indefinito come segue:
  
  [math] \int k \cdot f(x)\ dx = k \cdot \int f(x) dx \rightarrow k \in\{R\} [/math]
• L’integrale di una somma algebrica di due o più funzioni uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni riportato dunque in relazioni matematiche come segue:
  
  [math] \int [f_1(x) + f_2(x)] dx = \int f_1(x), dx + \int f_2(x) dx [/math]
• L’integrale indefinito un operatore lineare, in quanto l’integrale di una combinazione lineare di funzioni la combinazione lineare degli integrali delle funzioni riportata dunque come segue:
  
  [math] int [k_ cdot f_1(x)+ k_2 cdot f_2(x)], dx = ] [ k_1 cdot int f_1(x), dx + k_2 cdot int f_2(x), dx [/math]

Integrazioni immediate

In alcuni casi, risalire alla primitiva di una funzione, cioè calcolare l’integrale facile e intuitivo, e basta seguire delle semplici regole. Le formule di integrazione possono essere verificate calcolando la derivata dell’espressione che compare a destra dell’uguale.

• Integrale indefinito di una potenza di
  [math]x[/math]
  con esponente reale è pari a:
  
  [math] \int x^\alpha, dx =\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c \rightarrow \alpha \in\{R\} -\{-1\} [/math]

  Esempi

  [math] \int x , dx = \frac{x^2}{2} + c [/math]
  [math] \int x^2, dx = \frac{x^3}{3} + c [/math]
  [math] \int x^3, dx = \frac{x^4}{4} + c [/math]

• Nell’esempio precedente, abbiamo escluso il caso in cui l’esponente di x sia -1; in questo caso, abbiamo:
  [math] \int \frac{1}{x}, dx = log|x| + c [/math]

In particolare, possiamo generalizzare le formule viste in precedenza, per poterle applicare nel caso in cui abbiamo delle funzioni composte.

• L’integrale di una funzione elevato a un esponente reale:
  [math] \int [f(x)]^\alpha, dx = \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + c \rightarrow \alpha \in\{R\}-\{-1\} [/math]
• Vediamo ora un caso particolare: si può calcolare l’integrale di una frazione che ha per denominatore una funzione f(x), e per numeratore la sua derivata f(x):
  [math] \int \frac{f'(x)}{f(x)}, dx = log|f(x)|+c [/math]
• Integrale delle funzioni seno e coseno sono le seguenti qui riportate:
  [math] \int (cos x), dx = sin x + c [/math]
  [math] \int (sin x), dx = - cos x + c [/math]
• Integrale dei reciproci delle funzioni seno al quadrato e coseno al quadrato sono le seguenti qui riportate:
  [math] \int \frac{1}{cos^2 x}, dx = tan x + c [/math]
  [math] \int \frac{1}{sin^2x}, dx = -cot x + c [/math]
• I seguenti integrali hanno come risultato le funzioni inverse delle funzioni goniometriche così come segue riportate:
  [math] \int \frac{1}{sqrt{1-x^2}}, dx = arcsin x + c [/math]
  [math] \int \frac{1}{1+x^2}, dx = -arctan x + c [/math]

Possiamo applicare le formule precedenti anche nel caso di funzioni composte.

[math] \int \frac{f'(x)}{sqrt{1-[f(x)]^2}}, dx = arcsin[f(x)] + c [/math]
[math] \int \frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}, dx = -arctan[f(x)] + c [/math]



Vediamo, infine, alcuni integrali di funzioni esponenziali

• Integrale della funzione esponenziale con base
  [math]e[/math]
  :
  [math] \ int e^x, dx = e^x + c [/math]
• Integrale della funzione esponenziale con base
  [math]a[/math]
  :
  [math] \int a^x, dx =\ frac{a^x}{log a} + c [/math]

Le formule precedenti possono essere applicate anche per funzioni composte abbiamo quindi quanto segue riportato:

• Integrale della funzione esponenziale composta con base
  [math]e[/math]
  è il seguente riportato:
  
  [math] \ int e^{f(x)} \cdot f'(x), dx = e^{f(x)}+c [/math]
• Integrale della funzione esponenziale composta con base
  [math]a[/math]
  è il seguente riportato:
  
  [math] \int a^{f(x)} cdot f'(x), dx = \frac{a^{f(x)}}{log a} + c [/math]

Osserviamo che in tutti i casi in cui sono presenti funzioni composte

è necessario che la funzione integranda presenti il prodotto di due fattori, di cui uno la derivata della funzione . Infatti, quando calcoliamo la derivata di una funzione composta, calcoliamo la derivata della funzione con incognita , e poi moltiplichiamo il risultato ottenuto per la sua derivata, .