Integrazione per sostituzione e integrazione per parti

Integrazione per sostituzione

In un integrale, possiamo sostituire la variabile con una funzione in unaltra variabile , purch la nuova funzione in sia derivabile e invertibile, senza che cambi lintegrale stesso. In questo modo, possiamo risolvere degli integrali la cui risoluzione pu risultare difficile in altri modi.

Quindi, se abbiamo lintegrale ( int f(x) dx ), possiamo sostituire la variabile

con la funzione , ricordando che ora corrisponde a , e otteniamo un integrale equivalente:

[ int f(x), dx = int f[g(t)] g'(t), dt ]

In alcuni casi, lintegrazione per sostituzione un metodo alternativo per la risoluzione di integrali, mentre in altri costituisce lunico modo per integrare una funzione.

Esempio: Calcoliamo il seguente integrale: ( displaystyle int (xsqrt{1+x}), dx )

Questo integrale non pu essere risolto con i metodi tradizionali, in quanto non possiamo ricondurlo ad alcuna forma di integrazione nota.

Possiamo, quindi, procedere solo mediante sostituzione.

A volte difficile capire quale sostituzione occorre fare, e spesso si procede per tentativi. In questo caso, e di solito in molti altri casi in cui compare una radice, utile sostituire tutta la radice con la variabile t, e poniamo quindi:

( sqrt{1+x} = t )

Calcoliamo anche il differenziale; ricaviamo

dalla relazione precedente:

( sqrt{1+x} = t Rightarrow x = t^2 - 1 )

Sapendo che

corrisponde a , e in questo caso abbiamo , si ha che:

( dx = g'(t) dt = D(t^2-1) dt = 2t cdot dt )

Quindi, lintegrale si trasforma in questo modo:

( displaystyle int (xsqrt{1+x}), dx = int (t^2-1)cdot t cdot 2t cdot dt = 2int t^2 (t^2-1)cdot dt )

Ricordando le propriet degli integrali, possiamo spezzare lintegrale in due, e calcolare ognuno separatamente:

( displaystyle 2 int t^2 (t^2-1) cdot dt = 2 int t^4, dt - 2 int t^2, dt )

Procediamo ora con le regole di integrazioni delle funzioni potenza:

( displaystyle 2 int t^4, dt - 2 int t^2, dt = 2 cdot frac{t^{4+1}}{4+1} -2 cdot frac{t^{2+1}}{2+1} + c = )

( frac{2}{5}t^5 - frac{2}{3}t^3 + c)

Abbiamo, quindi, risolto lintegrale in

; per determinare la funzione primitiva in , basta sostituire ( t = sqrt{x+1} ) alla variabile della soluzione:

( frac{2}{5}t^5 - frac{2}{3} t^3 + c = frac{2}{5} (sqrt{1+x})^5 - frac{2}{3} (sqrt{1+x})^3 + c )

In alcuni casi, possiamo usare delle regole specifiche per sapere quale funzione dobbiamo sostituire; in alcuni casi abbiamo anche delle formule che ci permettono di risalire direttamente alla primitiva:

[ int frac{dx}{sqrt{a^2-x^2}} = arcsin frac{x}{a} + c ]

[ int sqrt{a^2-x^2}, dx = frac{1}{2} a^2 arcsin frac{x}{a} + frac{1}{2} x sqrt{a^2-x^2} + c,,,, , ,,,, a gt 0 ]

Integrazione per parti

Possiamo calcolare un integrale con lintegrazione per parti se la funzione integranda si presenta come il prodotto di due funzioni, delle quali una del tipo e viene detta fattore finito, laltra del tipo e viene detta fattore differenziale.

Possiamo allora dire che: lintegrale del prodotto di un fattore finito

per un fattore differenziale uguale al prodotto del fattore finito per lintegrale del fattore differenziale, diminuito dellintegrale del prodotto dellintegrale trovato per il differenziale del fattore finito. In simboli, possiamo scrivere:

[ int f(x) cdot g'(x), dx = f(x) cdot g(x) - int f'(x) cdot g(x), dx ]

Esempio: Calcoliamo il seguente integrale: ( int x cdot e^x, dx )

Questo integrale si presta benissimo alla risoluzione per parti: infatti, possiamo notare che la funzione integranda costituita da un prodotto, e soddisfa le richieste del metodo. Per capire quale delle due funzioni sia il fattore finito, e quale il fattore differenziale, notiamo che

( D(x) = 1,,,, , ,,,, int x, dx = frac{x^2}{2} + c )

e che :

( D(e^x) = e^x ,,,, , ,,,, int e^x, dx = e^x + c )

Dato che uno dei due fattori della funzione integranda deve essere la derivata di una qualche funzione, dobbiamo per forza scegliere

, e . Possiamo, quindi, procedere secondo la formula sopra descritta:

( displaystyle int x cdot e^x, dx = xcdot e^x - int 1 cdot e^x, dx = xcdot e^x - e^x + c = e^x (x-1) + c )

In alcuni casi possibile applicare lintegrazione per parti anche se nella funzione integranda non presente espressamente un prodotto.

Vediamo il seguente esempio: ( int log x, dx )

In questo caso, non abbiamo il prodotto di due funzioni nella funzione da integrare, ma sappiamo che ogni funzione pu essere considerata come il prodotto di se stessa per 1, quindi abbiamo:

( displaystyle int 1 cdot log x, dx )

Dato che non conosciamo il valore dellintegrale del logaritmo, ma conosciamo lintegrale di 1 (che

), poniamo (f(x) = log x ) e (g'(x) = 1).

Possiamo quindi risolvere lintegrale applicando la formula precedente:

( displaystyle int 1 cdot log x, dx = x cdot log x - int x cdot frac{1}{x}, dx = )

( displaystyle x cdot log x - int 1, dx = x cdot log x - x + c = x (log x - 1) + c )