Integrale Definiti e integrali indefiniti
Nel calcolo matematico é matematico risulta essere di estrema importanza il calcolo integrale. L'operazione di integrazione é non é altro che l'operazione inversa della derivazione. L'integrale di una funzione serve per andare a calcolare l'area che risulta essere sottesa a quella stessa funzione. Prima di procedere nell'andare a definire i diversi concetti, teoremi e proprietà fondamentali del calcolo integrale, e di assoluta e fondamentale importanza andare a definire il concetto di integrale indefinito e di integrale definito. Per integrale indefinito si intende proprio il calcolo dell'integrale di una funzione che non risulta essere delimitata da alcuni estremi. L'integrale indefinito viene rappresentato come segue riportato qui di seguito:
Dove F(x) risulta essere la primitiva della funzione.
Per integrale definito si intende proprio il calcolo dell'integrale di una funzione che risulta essere delimitata da estremi ben definiti. L'integrale definito viene rappresentato come segue riportato qui di seguito:
Dove F(b) e F(a) risultano essere rispettivamente la primitiva calcolata nell'estremo superiore e la primitiva calcolata nell'estremo inferiore.
Proprietà fondamentali del calcolo integrale
Esaminiamo alcune proprietà degli integrali definiti che ci permetteranno di effettuare operazioni con essi. Qui di seguito sono elencate alcune delle principali e fondamentali degne di nota:
- Questa proprietà riguarda l'intervallo considerato in cui vogliamo calcolare andare l'area sottesa alla funzione considerata.Si procede in tal modo. Se questo intervallo è costituito da un solo punto, l'area sottesa dal grafico della funzione è nulla. Da cui allora si ottiene che l'integrale della funzione compresa in quell'intervallo é nulla. Risulterà come segue: [math]\int_a^b f(x), dx = 0 [/math]/li]
- Se, invece, al posto di calcolare l'area del trapezoide risultante nell'intervallo [a;b], consideriamo l'intervallo [b;a], otteniamo, per convenzione, un risultato di segno opposto. Pertanto risulta come segue riportato qui di seguito:[math]\int_a^b f(x), dx = -\int_b^a f(x), dx[/math]
- Consideriamo, ora, una funzione f(x) continua in un intervallo [a;b], e sia c un punto interno a tale intervallo. Allora, l'area sottesa dal grafico di f(x) nell'intervallo [a;b] può essere espressa come la somma delle aree sottese dalla funzione negli intervalli [a;c] e [c;b]. Pertanto risulta come segue riportato qui di seguito:[math]\int_a^b f(x), dx = \int_a^c f(x), dx + \int_c^b f(x), dx[/math]
- L'integrale definito della somma di due funzioni è uguale alla somma dei loro integrali definiti, calcolati singolarmente; possiamo applicare tale regola anche nel caso della somma di più di due funzioni. Pertanto risulta come segue riportato qui di seguito: [math]\int_a^b [f(x)+g(x)], dx = \int_a^b f(x), dx + \int_a^b g(x), dx[/math]
- L'integrale definito del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l' integrale definito della funzione. Pertanto risulta come segue riportato qui di seguito:[math]\int_a^b \alpha \cdot f(x), dx = \alpha int_a^b f(x), dx[/math]
- Dalle due proprietà precedenti deriva che l'integrale definito della combinazione lineare di due o più funzioni è la combinazione lineare dei loro integrali definiti; l'integrale definito, quindi, è un operatore lineare. Pertanto risulta come segue riportato qui di seguito: [math]\int_a^b [\alpha cdot f(x) + \beta \cdot g(x)], dx = \alpha \cdot \int_a^b f(x), dx + \beta \cdot \int_a^b g(x), dx [/math]
Teorema della media
Consideriamo una funzione f(x) positiva nell'intervallo [a;b]; per il teorema di Bolzano-Weirestrass, sappiamo che esistono in tale intervallo il massimo M della funzione e il minimo m. Pertanto risulta come segue riportato qui di seguito nella figura illustrativa.
Possiamo notare che l'area del rettangolo colorato (che ha altezza uguale al minimo assunto dalla funzione) è minore dell'area del rettangolo con bordo nero (che invece ha altezza pari al massimo assunto dalla funzione), e l'area sottesa dal grafico di f(x) è proprio compresa tra questi due valori. Pertanto risulta come segue riportato qui di seguito:
In particolare, il teorema afferma che esiste un punto c interno all'intervallo [a;b] per cui si ha quanto segue riportato di seguito:
Il valore di f(c) prende il nome di valore medio della funzione f(x) nell'intervallo [a;b]. Questo valore può essere pensato anche come il limite, per n che tende all'infinito, della media aritmetica dei valori che la funzione assume nei punti
La funzione integrale
Consideriamo una funzione f(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b], e sia x un punto di tale intervallo. La funzione F(x), definita come:
viene definita funzione integrale di f in [a;b].
La variabile indipendente per la funzione F(x) è l'estremo superiore dell'integrale definito, mentre la variabile t viene definita variabile di integrazione.
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se la funzione f(x) è continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile, e per ogni x appartenente a tale intervallo, si ha che:
Quindi, essendo F(x) derivabile, e quindi continua, nell'estremo x di [a;b], la sua derivata coincide con il valore assunto dalla funzione integranda f(x) in tale estremo. La funzione F(x) è, quindi, una primitiva di f(x).
Sapendo che, in generale, possiamo esprimere le primitive di f(x) come F(x)+c, e sapendo che la primitiva di f(x) è il suo integrale indefinito, possiamo scrivere quanto segue riportato qui di seguito:
Possiamo, quindi, affermare che l'integrale indefinito di una funzione continua in un intervallo [a;b] esiste sempre.
