Funzioni continue e calcolo dei limiti

Consideriamo una funzione f(x) generica; sappiamo che, per x tendente ad un punto c (x → c), la funzione può avere limite, o può non averlo. Inoltre, questo limite, se esiste, può coincidere con f(c) se questo è definito, o può non coincidere con f(c).

A questo proposito, diamo la seguente definizione:

Definizione di funzione continua in un punto

Una funzione di equazione y = f(x) si dice continua in un punto c quando esiste il limite della funzione per x → c e questo limite è uguale al valore della funzione in quel punto, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]

Ricordando la definizione di limite, possiamo anche affermare che una funzione f(x) è continua in un punto x = c se, comunque scelto un valore ε arbitrariamente piccolo, è possibile trovare un intorno di c in tutti i punti del quale risulti:

\[ |f(x) – f(c)| < \epsilon \]

Riassumendo, possiamo dire che una funzione f(x) è continua nel punto x = c se:

  • esiste il valore della funzione nel punto c;
  • esiste il limite della funzione per x tendente a c;
  • il valore del limite è uguale al valore della funzione in c.

In particolare, possiamo distinguere due casi; se si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = f(c) \]

si dice che la funzione f(x) è continua in c dalla sinistra; se invece, di ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = f(c) \]

si dice che la funzione f(x) è continua in c dalla destra.

Osserviamo che, se una funzione è continua in un punto c, il punto c deve essere un punto di accumulazione del dominio della funzione, cioè tale che, in ogni suo intorno esiste almeno un elemento del dominio distinto dal punto c stesso.

Definizione di funzione continua in un intervallo

Una funzione f(x) si dice continua in un intervallo I se essa è continua in ogni punto di I.

L’insieme dei valori di x per cui una funzione è continua è detto insieme di continuità di f(x) e, molto spesso, esso coincide proprio con il dominio della funzione.

Continuità delle funzioni elementari

Vediamo alcuni esempi di funzioni elementari continue.

  • La funzione costante

La funzione costante f(x) = k è continua per qualunque valore di x; infatti, sappiamo che per ogni c reale, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} k = k \]

e, poiché il valore di f(x) in x = c è proprio k, la funzione è continua per tutti i valori di x.

  • La variabile indipendente

La funzione f(x) = x è continua per tutti i valori di x; infatti, consideriamo un generico c reale: abbiamo che f(c) = c. Si può verificare che per qualunque valore di x, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \rightarrow \lim_{x \rightarrow c} x = c \]

  • La funzione esponenziale

Anche la funzione esponenziale è continua per ogni x reale, e si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} a^x = a^c \, \, \, \, \forall c \in \mathbb{R} \mbox{, } a \gt 0 \]

  • La funzione logaritmica

La funzione logaritmica è continua per ogni valore di x positivo, e si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} \log_a x = \log_a c \, \, \, \, \forall c \in \mathbb{R^{+}} \mbox{, } a \in \mathbb{R^{+}} – \{1\} \]

Calcolo dei limiti delle funzioni continue

Se una funzione è continua, possiamo calcolare facilmente il suo limite per x che tende ad un valore numerico c. Infatti, dalla definizione di funzione continua, sappiamo che se una funzione f(x) è continua in un punto x = c, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]

Quindi, per calcolare il limite della funzione, per x→ c, sapendo che essa è continua in x = c, basta calcolare il valore della funzione in questo punto, cioè f(c).

Esempio di calcolo del limite attraverso la continuità della funzione:

Calcoliamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow 2} 3^x \]

Sappiamo che la funzione esponenziale è una funzione continua in ogni x reale, quindi è continua in particolare anche in x = 2. Quindi, possiamo calcolare facilmente il limite della funzione per x→ 2, in quanto questo corrisponde proprio con il valore che la funzione assume in x = 2:

\[ \lim_{x \rightarrow 2} f(x) = f(2) \rightarrow \lim_{x \rightarrow 2} 3^x = 3^2 = 9 \]

 

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