Infinitesimi

Definizione. Una funzione f(x) si dice infinitesima per x ? c, finito o infinito, se il limite della funzione, per x ? c, zero:

[ lim_{x
ightarrow 0} f(x) = 0 ]

Si dice anche che f(x) un infinitesimo per x ? c.

Alcuni esempi di funzioni infinitesime sono le seguenti:

• La funzione f(x) = x, per x ? 0, in quanto si ha: [ lim_{x
  ightarrow 0} f(x) = lim_{x
  ightarrow} x = 0 ]
• La funzione f(x) = x - 1, per x ? 1, in quanto si ha: [ lim_{x
  ightarrow 0} f(x) = lim_{x
  ightarrow 0} (x -1) = 1 - 1 = 0 ]
• La funzione ( f(x) = sqrt{x} ), per x ? 0, in quanto si ha: [ lim{x
  ightarrow 0} f(x) = lim_{x
  ightarrow 0} sqrt{x} = 0 ]
• La funzione ( f(x) = 1 - cos x), per x ? 0, in quanto si ha: [ lim_{x
  ightarrow 0} f(x) = lim_{x
  ightarrow 0} (1-cos x) = 1 - 1 = 0 ]
• La funzione f(x) = 1/x, per x ? ?, in quanto si ha: [ lim_{x
  ightarrow infty} f(x) = lim_{x
  ightarrow infty} frac{1}{infty} = 0 ]

Molto spesso, occorre confrontare due funzioni infinitesime per stabilire quale di esse tenda a zero pi velocemente, e questa operazione si applica, di solito, calcolando il limite del rapporto di tali funzioni.

Consideriamo, per esempio, due funzioni infinitesime per x ? c f(x) e g(x), e il loro rapporto f(x)/g(x); sappiamo che, per x ? c, entrambe tendono a zero, quindi il limite del rapporto:

[ lim_{x
ightarrow 0} frac{f(x)}{g(x)} ]

si presenta nella forma indeterminata [0/0].

Eliminando questa indeterminazione, e calcolando il valore del limite, possono presentarsi tre casi:

• Se il limite del rapporto zero, cio se si ha: [lim_{x
  ightarrow 0} frac{f(x)}{g(x)} = 0 ]

significa che la funzione f(x) tende a zero pi velocemente di g(x), e pertanto f(x) viene definita infinitesimo di ordine superiore a g(x).

• Se il limite del rapporto infinito, cio se si ha: [ lim_{x
  ightarrow 0} frac{f(x)}{g(x)} = infty ]

significa che la funzione g(x) tende a zero pi rapidamente di f(x), quindi f(x) viene definita infinitesimo di ordine inferiore a g(x), poich tende a zero pi lentamente.

• Se, invece, il limite del rapporto un valore diverso da zero o da infinito, cio se si ha: [ lim_{x
  ightarrow 0} frac{f(x)}{g(x)} = l ,,,, , ,,,, l
  e 0 ]

si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine, in quanto, per x ? c, tendono a zero con la stessa rapidit.

• Nel caso in cui, invece, il limite del rapporto delle due funzioni non esiste si dice che gli infinitesimi non sono confrontabili.

Ordine di un infinitesimo

Consideriamo due funzioni f(x) e ?(x), entrambe infinitesime per x ? c. Se il limite del rapporto tra f(x) e la potenza n-esima di ?(x) un valore diverso da zero, cio se: [ lim_{x
ightarrow 0} frac{f(x)}{[phi(x)]^n} = l ,,,, , ,,,, l
e 0 ]

si dice che f(x) un infinitesimo di ordine n ( n > 0 ) rispetto a ?(x), assunto come infinitesimo campione, o principale.

Esempio: Uno dei limiti notevoli principali riguarda il coseno di un angolo, ed il seguente:

[ lim_{x
ightarrow 0} frac{1-cos x}{x^2} = frac{1}{2} ]

Se consideriamo il numeratore e il denominatore come due funzioni separate, possiamo considerare la funzione come rapporto di due funzioni infinitesime. Poich al denominatore abbiamo x alla seconda, e il limite del rapporto tende al un valore finito diverso da zero, possiamo affermare che la funzione al numeratore, f(x) = 1 - cos x, un infinitesimo di ordine due.

Scrittura fuori dal segno di limite

Consideriamo una funzione f(x) che, per x ? c, tende ad un valore l diverso da zero:

(displaystyle lim_{x
ightarrow 0} f(x) = l ,,,, , ,,,, l
e 0 )

Possiamo dire, quindi, che la differenza tra la funzione stessa e il suo limite una funzione infinitesima, poich si ha:

( displaystyle lim_{x
ightarrow 0} f(x) = l Rightarrow lim_{x
ightarrow 0} [f(x) -l] = 0 )

Se chiamiamo la funzione ?(x) = f(x) - l, otteniamo la seguente relazione, che prende il nome di scrittura fuori al segno di limite:

( f(x) = delta(x) + l )

Parte principale di un infinitesimo

Consideriamo una funzione f(x) infinitesima di ordine n:

(displaystyle lim_{x
ightarrow 0} frac{f(x)}{[phi(x)]^n} = l ,,,, , ,,,, l
e 0 )

Come abbiamo visto in precedenza, possiamo scrivere la funzione f(x) con la scrittura fuori dal segno di limite, cio:

(phi(x) = frac{f(x)}{[phi(x)]^n} - l Rightarrow f(x) = l cdot [phi(x)]^n + delta(x) cdot [phi(x)]^n )

La funzione f(x) stata riscritta come somma di due infinitesimi, che prendono il nome, rispettivamente, parte principale e parte complementare della funzione:

( l cdot [phi(x)]^n
ightarrow mbox{ parte principale} )

( delta(x) cdot [phi(x)]^n
ightarrow mbox{ parte principale} )