Infinitesimi

Definizione. Una funzione f(x) si dice infinitesima per x → c, finito o infinito, se il limite della funzione, per x → c, è zero:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0 \]

Si dice anche che f(x) è un infinitesimo per x → c.

Alcuni esempi di funzioni infinitesime sono le seguenti:

  • La funzione f(x) = x, per x → 0, in quanto si ha: \[ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow} x = 0 \]
  • La funzione f(x) = x – 1, per x → 1, in quanto si ha: \[ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} (x -1) = 1 – 1 = 0 \]
  • La funzione \( f(x) = \sqrt{x} \), per x → 0, in quanto si ha: \[ \lim{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x} = 0 \]
  • La funzione \( f(x) = 1 – \cos x\), per x → 0, in quanto si ha: \[ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} (1-\cos x) = 1 – 1 = 0 \]
  • La funzione f(x) = 1/x, per x → ∞, in quanto si ha: \[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\infty} = 0 \]

Molto spesso, occorre confrontare due funzioni infinitesime per stabilire quale di esse tenda a zero più velocemente, e questa operazione si applica, di solito, calcolando il limite del rapporto di tali funzioni.

Consideriamo, per esempio, due funzioni infinitesime per x → c f(x) e g(x), e il loro rapporto f(x)/g(x); sappiamo che, per x → c, entrambe tendono a zero, quindi il limite del rapporto:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} \]

si presenta nella forma indeterminata [0/0].

Eliminando questa indeterminazione, e calcolando il valore del limite, possono presentarsi tre casi:

  • Se il limite del rapporto è zero, cioè se si ha: \[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \]

significa che la funzione f(x) tende a zero più velocemente di g(x), e pertanto f(x) viene definita infinitesimo di ordine superiore a g(x).

  • Se il limite del rapporto è infinito, cioè se si ha: \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty \]

significa che la funzione g(x) tende a zero più rapidamente di f(x), quindi f(x) viene definita infinitesimo di ordine inferiore a g(x), poiché tende a zero più lentamente.

  • Se, invece, il limite del rapporto è un valore diverso da zero o da infinito, cioè se si ha: \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = l \,\,\,\, , \,\,\,\, l \ne 0 \]

si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine, in quanto, per x → c, tendono a zero con la stessa rapidità.

  • Nel caso in cui, invece, il limite del rapporto delle due funzioni non esiste si dice che gli infinitesimi non sono confrontabili.

Ordine di un infinitesimo

Consideriamo due funzioni f(x) e φ(x), entrambe infinitesime per x → c. Se il limite del rapporto tra f(x) e la potenza n-esima di φ(x) è un valore diverso da zero, cioè se: \[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{[\phi(x)]^n} = l \,\,\,\, , \,\,\,\, l \ne 0 \]

si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine n ( n > 0 ) rispetto a φ(x), assunto come infinitesimo campione, o principale.

Esempio: Uno dei limiti notevoli principali riguarda il coseno di un angolo, ed è il seguente:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]

Se consideriamo il numeratore e il denominatore come due funzioni separate, possiamo considerare la funzione come rapporto di due funzioni infinitesime. Poiché al denominatore abbiamo x alla seconda, e il limite del rapporto tende al un valore finito diverso da zero, possiamo affermare che la funzione al numeratore, f(x) = 1 – cos x, è un infinitesimo di ordine due.

Scrittura fuori dal segno di limite

Consideriamo una funzione f(x) che, per x → c, tende ad un valore l diverso da zero:

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = l \,\,\,\, , \,\,\,\, l \ne 0 \)

Possiamo dire, quindi, che la differenza tra la funzione stessa e il suo limite è una funzione infinitesima, poiché si ha:

\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = l \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0} [f(x) -l] = 0 \)

Se chiamiamo la funzione δ(x) = f(x) – l, otteniamo la seguente relazione, che prende il nome di scrittura fuori al segno di limite:

\( f(x) = \delta(x) + l \)

 

Parte principale di un infinitesimo

Consideriamo una funzione f(x) infinitesima di ordine n:

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{[\phi(x)]^n} = l \,\,\,\, , \,\,\,\, l \ne 0 \)

Come abbiamo visto in precedenza, possiamo scrivere la funzione f(x) con la scrittura fuori dal segno di limite, cioè:

\(\phi(x) = \frac{f(x)}{[\phi(x)]^n} – l \Rightarrow f(x) = l \cdot [\phi(x)]^n + \delta(x) \cdot [\phi(x)]^n \)

La funzione f(x) è stata riscritta come somma di due infinitesimi, che prendono il nome, rispettivamente, parte principale e parte complementare della funzione:

\( l \cdot [\phi(x)]^n \rightarrow \mbox{ parte principale} \)

\( \delta(x) \cdot [\phi(x)]^n \rightarrow \mbox{ parte principale} \)

 

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