Limite finito di una funzione per x che tende all’infinito

Consideriamo la seguente funzione:

\[ y = f(x) = \frac{x-1}{x} \]

Sappiamo che essa è definita per tutti i valori di \( x \ne 0 \), quindi la funzione è sicuramente definita per valori di x molto grandi o molto piccoli, cioè in un intorno di infinito.

Esaminiamo, quindi, il comportamento della funzione per valori di x positivi sempre più grandi, e per valori di x negativi, sempre più grandi in valore assoluto. Riassumiamo in una tabella i risultati ottenuti:

 

Andamento valori funzione per x che tende a infinito

 

 

 

 

 

 

 

 

Notiamo quindi che a mano a mano che i valori di x crescono, la funzione si avvicina sempre di più a 1, e si dice che “per x tendente all’infinito, f(x) ha per limite 1”, o anche “f(x) tende a 1 per x tendente all’infinito”.

Possiamo quindi affermare che, per valori di x abbastanza grandi, in valore assoluto, la distanza di f(x) da 1 è sempre più piccola, possiamo dire che il

valore di \( | f(x) – 1 | \) può essere reso piccolo a piacere, cioè minore di qualsiasi numero positivo arbitrariamente piccolo.

Esprimiamo questo concetto con una definizione formale:

Definizione di limite all’infinito

Si dice che, per x tendente all’infinito, la funzione y = f(x) ha per limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = l \]

se, comunque si scelga un numero positivo ε, arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza di esso, un intorno di infinito tale che, per ogni x appartenente a tale intorno, si ha:

\[ | f(x) – l | \lt \epsilon \]

In particolare, con la scrittura \( x \rightarrow \infty \) intendiamo i valori di x che tendono a \( +\infty \) e a \( -\infty \).

In questo caso, per verificare la correttezza di un limite, dobbiamo accertarci che la disequazione \( | f(x) – l | \lt \epsilon \) abbia come insieme delle soluzioni un intorno di infinito.

Vediamo un esempio:

Esempio di limite all’infinito

Verifichiamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x+2} = 1 \]

Dobbiamo verificare che per valori di x sempre più grandi, o per valori di x sempre più piccoli, la funzione si avvicini sempre di più al valore 1. Quindi, sappiamo che la differenza tra la funzione stessa e il valore 1 diventerà piccola a piacere, per questi valori di x, e in particolare, sarà sicuramente più piccola di un numero arbitrario ε; impostiamo quindi, la seguente disequazione:

\( \Big|\frac{x}{x+2}-1\Big| \lt \epsilon \)

Risolviamo la disequazione:

\( \Big|\frac{x-x-2}{x+2}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{-2}{x+2}\Big| \lt \epsilon \)

Poiché al numeratore abbiamo un valore numerico, possiamo separare i valori assoluti, e girare la frazione, ricordandoci di cambiare il verso della disequazione:

\( \frac{|2|}{|x+2|} \lt \epsilon \rightarrow \frac{2}{|x+2|} \lt \epsilon \rightarrow \frac{|x+2|}{2} \gt \frac{1}{\epsilon} \rightarrow |x+2| \gt \frac{2}{\epsilon} \)

Da cui otteniamo:

\( x + 2 \lt -\frac{2}{\epsilon} \vee x+2 \gt \frac{2}{\epsilon} \)

Risolviamo le due disequazioni, ricordandoci che le soluzioni finali saranno l’unione delle soluzioni delle singole disequazioni:

\( x \lt -2 – \frac{2}{\epsilon} \vee x \gt \frac{2}{\epsilon} – 2 \)

Possiamo rappresentare l’insieme delle soluzioni anche con un’altra notazione:

\( \Big(-\infty; – 2; -\frac{2}{\epsilon}\Big) \cup \Big(\frac{2}{\epsilon}-2; +\infty\Big) \)

Il risultato ottenuto è un intorno di infinito, quindi concludiamo affermando che il limite è verificato.

 

Casi particolari

Con la notazione \( x \rightarrow \infty \), se non specifichiamo il segno di infinito, intendiamo infinito generico, cioè sia \( +\infty \) che \( -\infty \).

In alcuni casi, però, ci si può riferire solo a valori molto grandi positivi di x, o solo a valori molto piccoli negativi di x.

Vediamo quindi le due seguenti definizioni:

Definizione di limite per x che tende a più infinito

Si dice che, per x tendente a \(+\infty \), la funzione f(x) ha limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l \]

se, comunque fissato un numero positivo \( \epsilon \), arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno di \( +\infty \) tale che, per ogni x di tale intorno, si ha che:

\[ | f(x) – l | \lt \epsilon \]

Definizione di limite a meno infinito

Si dice che, per x tendente a \( -\infty \), la funzione f(x) ha limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = l \]

se, comunque scelto un numero positivo \( \epsilon \), arbitrariamente piccolo, si può determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno di  \( -\infty \) tale che, per ogni x di tale intorno, si ha che:

\[ | f(x) – l | \lt \epsilon \]

Asintoti orizzontali

Come abbiamo detto prima, se il limite per \( x \rightarrow +\infty \) per una funzione f(x), vale l, sappiamo che la funzione, per valori sempre più grandi di x, si avvicinerà sempre di più alla retta di equazione y = l. Si dice, in questo caso, che la funzione ha un asintoto orizzontale destro.

Allo stesso modo, se per \( x \rightarrow -\infty \) il limite della funzione vale l, diremo che la funzione ha un asintoto orizzontale sinistro di equazione y = l.

In particolare, se non si specifica il segno di \( \infty \), la funzione avrà un asintoto orizzontale sia destro che sinistro.

Riassumiamo i vari casi possibili:

 

Grafico funzione con limite finito per x che tende a meno infinito
\( lim_{x \rightarrow -\infty f(x) = l \)

 

 

 

 

 

 

 

 

Grafico funzione con limite finito per x che tende a più infinito
\( \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = l \)

 

 

 

 

 

 

 

 

Grafico funzione con limite finito per x che tende a infinito
\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = l \)

 

 

 

 

 

 

 

 

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