Limite finito di una funzione per x che tende a un valore finito

Consideriamo la seguente funzione:

\[ y = f(x) = \frac{2x^2 – x – 1}{x-1} \]

come sappiamo, la funzione è definita per tutti i numeri reali, escluso 1, quindi possiamo scrivere che il suo dominio è:

\[ D \equiv \mathbb{R} – \{1\} \]

Esaminiamo il comportamento della funzione \( x=1 \), in cui essa non è definita; riassumiamo, quindi, in uno schema i valori che la funzione assume via via che x si avvicina sempre più ad 1:

 

Andamento funzione y=2^2 - x - 1 / (x - 1)

 

Possiamo quindi notare che, più si avvicina al valore 1, più f (x) si avvicina al valore 3; in questo caso, si dice che “per x che tende a 1, f(x) ha limite 3”, oppure che “f(x) tende a 3 per x tendente a 1”.

Queste affermazioni possono essere riassunte con la seguente scritta:

\( \lim_{x \rightarrow 1} f(x) = 3 \)

Ciò significa che la distanza di f(x) dal punto cui tende diminuisce sempre di più all’approssimarsi di x a 1; sappiamo che tale distanza può essere espressa come valore assoluto della differenza tra f(x) e 3, in formula \( | f(x) – 3 | \), infatti abbiamo che:

 

Andamento funzione: modulo della differenza tra f(x) e il valore del limite

 

Possiamo quindi dire che le distanze dei valori di f(x) da 3 possono essere resi piccoli a piacere, cioè possono essere resi più piccoli di qualsiasi numero positivo prefissato, a condizione di scegliere valori di x abbastanza vicini a 1.

In generale, si può verificare che, fissato un numero ε > 0, arbitrariamente piccolo, la distanza di f(x) da 3 risulterà minore di ε per valori di \( x \ne 1 \), appartenenti ad un intorno di 1 dipendente da ε.

In questo caso, quindi, dovremmo verificare che la disequazione \( | f(x) – 3 | \lt \epsilon \) è soddisfatta per un intorno di x = 1.

\(|(f(x) – 3| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{2x^2-x-1}{x-1}-3\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{2x^2-x-1-3x+3}{x-1}\Big| \lt \epsilon \)

\(\Big|\frac{2x^2-4x+2}{x-1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{2(x-1)^2}{x-1}\Big| \lt \epsilon \)

Escludendo il valore x = 1, per il quale la funzione non è definita, possiamo semplificare, e otteniamo:

\(\Big|\frac{2(x-1)^2}{x-1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow |2(x-1)| \lt \epsilon \rightarrow |2x – 2| \lt \epsilon \)

\( -\epsilon \lt 2x – 2 \lt \epsilon \rightarrow 2 – \epsilon \lt 2x \lt \epsilon + 2 \rightarrow 1 – \frac{\epsilon}{2} \lt x \lt \frac{\epsilon}{2} + 1 \)

Quindi, la disequazione è verificata per appartenente all’intervallo \( (1 – \epsilon / 2; \epsilon / 2 + 1)  \) e \( x \ne 1 \), che è un intorno di 1.

 

Definizione di limite

Diamo ora una definizione generale, considerando una funzione f(x), definita in tutti i punti dell’intervallo [a ; b], escluso al più il punto c, interno all’intervallo.

Si dice che per x tendente a c, la funzione y = f(x) ha per limite l, e si scrive:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l \]

se, comunque si scelga un numero positivo ε, arbitrariamente piccolo, si può determinare in corrispondenza di esso, un intorno completo di c tale che per ogni x di tale intorno, escluso al più x = c, si ha che:

\[ |f(x) – l| \lt \epsilon \]

che si può anche scrivere come

\[ l – \epsilon \lt f(x) \lt \epsilon + l \]

Quindi, per verificare il limite per \( x \rightarrow c \) di una funzione f(x), sapendo che tale limite vale l, dobbiamo risolvere la disequazione \( | f(x) – l | \lt \epsilon \): se l’insieme delle soluzioni così determinato è un intorno di c, oppure contiene un intorno completo di c, escluso al più c stesso, il limite è verificato.

 

Esempio di verifica del limite attraverso la definizione

Consideriamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow -1} \frac{x^2-2x-3}{x+1} = -4 \]

Affinché tale limite sia esatto, dobbiamo imporre che esista un valore ε, piccolo a piacere, tale che la distanza della funzione dal nostro limite, sia minore di ε.

Quindi, impostiamo la seguente disequazione:

\[ \Big|\frac{x^2-2x-3}{x+1} – (-4)\Big| \lt \epsilon \]

Risolviamo la disequazione: se il risultato è un intorno di -1, il limite sarà verificato:

\( \Big|\frac{x^2-2x-3}{x+1}+4\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{x^2-2x-3+4x+4}{x+1}\Big| \lt \epsilon \)

\( \Big|\frac{x^2+2x+1}{x+1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{(x+1)^2}{x+1}\Big| \lt \epsilon \rightarrow |x+1| \lt \epsilon \)

Da questa espressione otteniamo che:

\[ -\epsilon \lt x+1 \lt \epsilon \rightarrow -1 – \epsilon \lt x \lt \epsilon -1 \]

che è un intorno di – 1; possiamo quindi concludere affermando che il limite è verificato.

 

Materiale di supporto

Videolezione sui limiti delle funzioni elementari

 

 

 

 

 

 

Videolezione sui limiti delle funzioni elementari

 

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