Limite infinito di una funzione per x che tende a un valore finito

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Consideriamo la funzione seguente:

[math] y = f(x) = \frac{1}{x-1} [/math]

Sappiamo che la funzione non definita per x = 1, esaminiamo il comportamento della funzione per valori di x prossimi a 1.

Riassumiamo in una tabella il valore di f(x) per valori di x che si avvicinano sempre di pi a 1, da destra e da sinistra:

Notiamo, anche facendo riferimento al grafico della funzione, che, a mano a mano che x si approssima per difetto al valore 1, tanto pi la funzione f(x) assume valori negativi pi grandi (in valore assoluto); allo stesso modo, pi x si avvicina a 1 per eccesso, tanto pi i valori positivi di f(x) aumentano.

Possiamo quindi affermare che, per x tendente a 1 da destra, la funzione f(x) tende a

[math]+\infty[/math]

, mentre, per x tendente a 1 da sinistra la funzione f(x) tende a

[math]-\infty[/math]

In simboli, scriviamo:

[math] |f(x)| \gt M [/math]

[math] \lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{x-1} = +\infty \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x-1} = -\infty [/math]

In particolare, possiamo affermare che, all'approssimarsi si x al valore 1, i valori che assume la funzione f(x) diventano maggiori di qualunque numero prefissato, per quanto grande esso possa essere.

Si verifica, quindi, che, comunque scelto un numero M > 0 grande a piacere, si ha sempre che | f(x) | > M, in tutti i punti di x in un intorno di 1, e per

[math]{x}\ne{1}[/math]

Diamo ora una definizione generale, riferita ad una funzione f(x), definita in un intervallo [a;b], eccetto al pi il punto c, interno all'intervallo.

Definizione:

Si dice che, per x tendente a c, la funzione f(x) ha limite infinito, e si scrive:

[math] \lim_{x \rightarrow c} f(x) = \infty [/math]

se, comunque sia fissato un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare in corrispondenza ad esso, un intorno completo di c tale che, per ogni x di tale intorno, escluso al pi x = c, si ha che:

[math]∣f{{\left({x}\right)}}∣>{M}[/math]

Che si può anche scrivere, ricordando le proprietà del valore assoluto, nel seguente modo:

[math] f(x) \lt -M \vee f(x) \gt M [/math]

Ci significa che, nel grafico di f(x), possibile determinare un intorno del punto c tale che, per ogni x appartenente a questo intorno, escluso al pi x = c, i corrispondenti punti del grafico di y = f(x) giacciono all'esterno della striscia delimitata dalle rette y = -M e y = M.

Di conseguenza, per verificare un limite infinito per x che tende ad un valore finito, occorre risolvere la disequazione | f(x) | > M, e accertarsi che l'insieme delle soluzioni sia un intorno di c, o comprenda un intorno di c.

Esempio: Verifichiamo il seguente limite:

[math] \lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x^2-4} = \infty [/math]

Affinchè il limite sia verificato, impostiamo la seguente disequazione:

[math] \Big| \frac{1}{x^2-4} \Big| \gt M [/math]

Dato che al numeratore abbiamo un numero, possiamo separare il valore assoluto, e invertire la frazione:

[math]\frac{1}{|x^2-4|} \gt M \rightarrow |x^2-4| \lt \frac{1}{M} \rightarrow -\frac{1}{M} \lt x^2-4 \lt \frac{1}{M}[/math]

Possiamo spezzare la disequazione e impostare un sistema, da cui otteniamo:

[math]\begin{cases} x^2-4 \lt \frac{1}{M} \\ x^2-4 \gt -\frac{1}{M} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x^2 \lt \frac{1}{M} + 4 \\ x^2 \gt -\frac{1}{M} + 4 \end{cases} \rightarrow[/math]

[math]\rightarrow \begin{cases} -\sqrt{\frac{1}{M}+4} \lt x \lt \sqrt{\frac{1}{M} + 4} \\ x \lt -\sqrt{4 – \frac{1}{M}} \vee x \gt \sqrt{4 – \frac{1}{M}} \end{cases}[/math]

Risolviamo il sistema, e visualizziamo gli intervalli descritti dalle disequazioni in uno schema:

Poichè il limite di partenza per x che tende a 2, dei due intervalli che costituiscono le soluzioni del sistema, il secondo quello che ci interessa maggiormente.

Infatti, l'intervallo

[math] \Big(\sqrt{4 - \frac{1}{M}}; \sqrt{\frac{1}{M}+4}\Big) [/math]

contiene sicuramente 2, poichè si ha

[math] 2 = \sqrt{4} [/math]

, e sapendo che M un numero molto grande, sappiamo che 1/M una quantità piccola.

Quindi, poiché le soluzioni della disequazione contengono un intorno di 2, possiamo concludere che il limite verificato.

Asintoti verticali

Se per

[math]{x}\rightarrow{c}[/math]

si ha che

[math]f{{\left({x}\right)}}\rightarrow\pm\infty[/math]

, si dice che la retta x = c un asintoto verticale per il grafico di f(x).

Si può parlare di asintoto verticale destro o sinistro, in base al modo in cui x tende a c: se x tende a c per eccesso, cioè da destra, si avrà un asintoto verticale destro, mentre se x tende a c per difetto, cioè da sinistra, si avrà un asintoto verticale sinistro.

Vediamo un esempio di asintoto verticale facendo riferimento alla funzione dell'esempio precedente: