Limite infinito di una funzione per x che tende all’infinito

Consideriamo la funzione seguente:

\[ y = f(x) = x^3 \]
Sappiamo che essa è definita per ogni x reale, quindi esaminiamo il comportamento della funzione mano a mano che i valori di x, positivi o negativi, diventano molto grandi, in valore assoluto.

Riassumiamo in uno schema i valori assunti da f(x) al variare di x:

 

Grafico e andamento funzione y=x^3

 

 

 

 

 

 

 

 

Possiamo quindi notare che, all’aumentare di x, la funzione f(x) assume valori sempre più grandi, quindi, possiamo scrivere che per x → +∞, f(x) → +∞ ; allo stesso modo, al diminuire di x, f(x) assume valori sempre più piccoli, quindi per x → -∞, f(x) → -∞.

In termini generali, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \]

Diamo ora una definizione generale, considerando una generica funzione f(x), definita in un intorno di infinito.

Definizione di limite infinito

Si dice che, per x tendente all’infinito, la funzione y=f(x) ha per limite infinito, e si scrive

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \]

se, comunque si scelga un numero positivo M, arbitrariamente grande, si può determinare, in corrispondenza di esso, un introno di infinito tale che, per ogni x di tale intorno, si ha:

\[ | f(x) | \gt M \]

cioè, ricordando le proprietà del valore assoluto:

\[ f(x) \lt -M \vee f(x) \gt M \]

Quindi, possiamo dire che, in corrispondenza di un qualunque M > 0 è possibile determinare un intorno di infinito tale che, per ogni x di questo intorno, i corrispondenti punti di f(x) giacciono all’esterno della linea striscia delimitata dalle rette y = M e y = -M.

Per verificare un limite infinito per x che tende all’infinito occorrerà risolvere la disequazione | f (x) | > M, e accertarsi che l’insieme delle soluzioni trovate contenga un intorno di infinito.

Esempio di verifica di un limite infinito

Verifichiamo il seguente limite:

\[ lim_{x \rightarrow \infty} \log(1 + x^2) = \infty \]

Dobbiamo verificare che, comunque scelto un M > 0, arbitrariamente grande, la disequazione |f(x)| > M contenga un intorno di infinito. Risolviamo, quindi, la seguente disequazione:

\( | \log(1+x^2) | \gt M \)

\( \log(1+x^2) \lt -M \vee \log(1+x^2) \gt M \)

Cominciamo risolvendo la prima disequazione:

\( \log(1+x^2) \lt -M \rightarrow 1+x^2 \lt e^{-M} \rightarrow -\sqrt{e^{-M} – 1} \lt x \lt \sqrt{e^{-M}-1} \)

Risolviamo ora la seconda:

\( \log(1+x^2) \gt M \rightarrow 1+x^2 \gt e^M \rightarrow x \lt – \sqrt{e^M – 1} \vee x \gt \sqrt{e^{-M} – 1} \)

Le soluzioni della disequazione di partenza sono date dall’unione delle soluzioni delle due disequazioni, quindi abbiamo il seguente intervallo:

\( (-\infty; -\sqrt{e^M-1}) \cup (-\sqrt{e^{-M}-1}; \sqrt{e^M-1}; +\infty) \)

L’intervallo delle soluzioni contiene un intorno di infinito (dato dalle soluzioni della seconda disequazione ), pertanto possiamo affermare che il limite di partenza è verificato.

In alcuni casi, la funzione poù tendere solo a +∞, o solo a -∞. In particolare, se comunque si scelga M > 0, arbitrariamente grande, è possibile determinare un intorno di infinito per cui sia verificata la disequazione f(x) < -M, si dice che per x → ∞, f(x) tende a -∞:

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = -\infty \)

Allo stesso modo, se comunque si scelga M > 0, si può trovare un intorno di ∞ in cui valga f(x) > M, allora per x → ∞, f(x) tende a +∞:

\( \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = +\infty \)

Se, invece, le disequazioni f(x) < -M o f(x) > M sono verificate solo in un intorno di meno infinito, o solo in un intorno di più infinito, si dice che per x tendente a più infinito (x → +∞) , oppure per x tendente a meno infinito (x → -∞), f(x) ha per limite ∞ ( o, rispettivamente, +∞, o – ∞ ).

Esempio di verifica di un limite infinito per x tendente all’infinito

Verificare il seguente limite infinito, per x tendente a infinito:

\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} (1 – \sqrt{x}) = -\infty \]

Vogliamo verificare che, comunque scelto un M > 0, abbastanza grande, esista un intorno di più infinito in cui sia verificata la disequazione f(x) < -M, poiché la funzione tende a – ∞. Quindi, impostiamo la seguente disequazione:

\[ 1 – \sqrt{x} \lt -M \]

Risolviamo la disequazione:

\[ 1-\sqrt{x}\lt -M \rightarrow \sqrt{x} \gt M + 1 \rightarrow x \gt (M + 1)^2 \]

La soluzione della disequazione può anche essere scritta come intervallo, in questo modo:

\[\Big((M+1)^2; +\infty\Big) \]

Che rappresenta proprio un intorno di +∞, quindi il limite di partenza è stato verificato.

 

 

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