_stan
di _stan
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Limiti delle funzioni razionali intere

Per
[math] x \to c [/math]
(reale)

Una funzione razionale intera pu essere espressa come un polinomio in x, cio una funzione f(x) razionale intera di questo tipo:

[math] f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ \ldots + a_0[/math]

Sappiamo che un polinomio una funzione continua per ogni x reale, in quanto formato da monomi, che sono funzioni continue su tutto R. Quindi, per calcolare il limite di una funzione razionale intera, per x che tende ad un valore reale c, basta calcolare il valore che assume la funzione per x = c:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \rightarrow \lim_{x \rightarrow c}(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0) = [/math]

[math] \displaystyle = a_n \cdot c^n+a_{n-1}\cdot c^{n-1}+\ldots+a_0[/math]

Per

[math] x \to \infty [/math]

Se, invece, vogliamo calcolare il limite di una funzione razionale intera per x che tende all'infinito, si potrebbero presentare dei casi di indeterminazione del tipo

[math] [+\infty -\infty] [/math]
.
Per eliminarli, possiamo procedere nel seguente modo:

dato il limite:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} (a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0)[/math]

raccogliamo a fattore comune la x con grado massimo:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x^n \Big(a_n + \frac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\frac{a_0}{x^n}\Big)[/math]

In questo modo, sapendo che ogni potenza di x tende all'infinito, per

[math] x \to \infty [/math]
, possiamo affermare che ogni frazione che presenta una potenza di x al denominatore tende a zero, poiché è della forma
[math]\frac{a}{x^n}[/math]
, quindi:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{a_{n-1}}{x} = \ldots = \lim_{x \rightarrow c} \frac{a_0}{x^n} = 0[/math]

In questo modo, abbiamo eliminato l'indeterminazione del limite, in quanto per la parte restante si ha una forma del tipo

[math]\frac{a}{x^n}[/math]
che sappiamo essere infinito.

Possiamo, in generale, affermare che per ogni funzione razionale intera, il limite per

[math]x \to \infty[/math]
è infinito:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty[/math]

Il segno di tale limite si può determinare con la regola dei segni.

Limite delle funzioni razionali fratte

Per
[math] x \to c [/math]
(reale)

Una funzione razionale fratta una funzione che si pu esprimere come rapporto di polinomi, cio del tipo:

[math] \displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_1x+b_0}[/math]

Le funzioni che compaiono al numeratore e al denominatore sono funzioni continue per ogni x reale, quindi anche f(x) è una funzione continua su tutto R. Vediamo, ora, tra casi possibili che si possono presentare quando

[math] x \to c [/math]
:
  • Se
    [math] Q(c) \neq 0 [/math]
    , essendo f(x) una funzione continua, il limite si può ottenere semplicemente calcolando il valore che f(x) assume per x = c, quindi:
    [math]\displaystyle\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)[/math]
  • Se
    [math] Q(c) = 0[/math]
    e
    [math]P(c) \neq 0 [/math]
    , abbiamo il limite di una funzione il cui denominatore tende a zero, mentre il numeratore tende ad una valore diverso da zero; sappiamo che questo limite fa infinito:
    [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = \infty [/math]
  • Se entrambe le funzioni in c assumono il valore zero, cioè Q(c) = 0 e P(c) = 0, allora ci troviamo di fronte alla forma indeterminata
    [math] 0/0 [/math]
    . In questo caso, per eliminare l'indeterminazione, dobbiamo cercare di scomporre i polinomi in fattori e di semplificarli; ricordiamo che, per il teorema del resto, i polinomi sono divisibili per
    [math] x - c[/math]
    , quindi per scomporre in fattori numeratore e denominatore basterebbe dividerli per il binomio x-c.
Per
[math] x \to \infty[/math]

Consideriamo il seguente limite:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_1x+b_0} [/math]

cioè il limite per

[math] x \to \infty[/math]
di una funzione razionale fratta.

Per le funzioni razionali intere, possiamo raccogliere a fattore comune la x di grado massimo, sia nel numeratore che nel denominatore:

[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^n\Big(a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}\Big)}{x^n\Big(b_m+\frac{b_{m-1}}{x}+\ldots+\frac{b_1}{x^{n-1}}+\frac{b_0}{x^n}\Big)} =[/math]

[math] \displaystyle = \lim_{x \rightarrow \infty} x^{n-m} \frac{a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}}{b_n+\frac{b_{n-1}}{x}+\ldots+\frac{b_1}{x^{n-1}}+\frac{b_0}{x^n}}[/math]

Notiamo ora che, dato che x tende all'infinito, tutte le frazioni che hanno una potenza di x al denominatore tendono a zero, quindi il valore del limite dipende solo dai monomi di grado massimo del numeratore e del denominatore. Distinguiamo tre casi:

  • Se n > m, l'esponente di x è positivo, quindi il limite della funzione è infinito; in particolare, si ha che:
    [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^{n-m} = +\infty\, \, \, \, , \, \, \, \, \lim_{x \rightarrow -\infty} x^{n-m} = [/math]

    [math] \displaystyle = \begin{cases} +\infty&n-m&\mbox{pari} \\ -\infty&n-m \mbox{ dispari} \end{cases} [/math]
  • Se n [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x^{n-m} = \lim_{x \rightarrow\infty} \frac{1}{x^{m-n}} = 0 [/math]
  • Se n = m, allora l'esponente di x è uguale a zero, quindi la potenza di x, con esponente n - m, è uguale ad 1; il limite della funzione dipende, quindi, dal rapporto dei coefficienti della x di grado massimo dei due polinomi:
    [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}x^{n-m} = \lim_{x \rightarrow \infty} 1 = 1 R\rightarrow \lim_{x \rightarrow\infty} f(x) = \frac{a_n}{b_n} [/math]
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