Limite destro e limite sinistro
Nella
definizione di limite, si afferma che x tende ad un valore c, e si scrive
[math] x \to c [/math]
; in questo caso, si considera un
intorno completo del punto c.
Se, invece, consideriamo solo un intorno destro, o un intorno sinistro, del punto c, cioè se prendiamo solo valori più grandi di c, o solo valori pi piccoli, allora si parla di limite destro, o di limite sinistro, della funzione nel punto c.
Vediamo, quindi, le seguenti definizioni:
Definizione di limite destro
Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c dalla destra, cioè per eccesso, ha per limite destro il numero l se, preso un numero piccolo a piacere
[math] \epsilon [/math]
, è possibile determinare, in corrispondenza di esso, un intorno destro di c, in modo che, per tutti i valori appartenenti a tale intorno, si ha che:
[math] |f(x) - l| \lt \epsilon[/math]
in simboli, abbiamo:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = l[/math]
Allo stesso modo, possiamo dare la
Definizione di limite sinistro
Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c dalla sinistra, cio per difetto, ha per limite sinistro il numero l se, preso un numero piccolo a piacere
[math] \epsilon [/math]
, possibile determinare, in corrispondenza di esso, un intorno sinistro di c, in modo che, per tutti i valori appartenenti a tale intorno, si ha che:
[math] | f(x) - l | \lt \epsilon[/math]
e in simboli si scrive:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = l[/math]
In particolare, si parla di limite per x che tende a c, non specificando se da destra o da sinistra, nel caso in cui i limiti destro e sinistro coincidano.
Infatti, se il limite destro è diverso dal limite sinistro, cioè se si ha che:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = l_1 \wedge \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = l_2 \wedge l_1 \ne l_2[/math]
allora, la funzione non ammette limite per x tendente a c.
Esempio di limite sinistro
Verifichiamo il seguente limite sinistro:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}} (1 + \sqrt{-x}) = 1[/math]
Impostiamo una disequazione per verificare che, prendendo un valore piccolo a piacere
[math] \epsilon [/math]
, la distanza della nostra funzione da 1 sia più piccola di
[math] \epsilon [/math]
:
[math]|(1+\sqrt{-x})-1| \lt \epsilon[/math]
Procediamo risolvendo la disequazione:
[math]|\sqrt{-x}| \lt \epsilon \rightarrow -\epsilon \lt \sqrt{-x} \lt \epsilon[/math]
Possiamo risolvere questa disequazione separando i due casi, e mettendoli poi a sistema; cominciamo dal primo:
[math]\sqrt{-x} \gt -\epsilon[/math]
Sapendo che
[math] \epsilon [/math]
è un numero positivo, sicuramente
[math] -\epsilon [/math]
sarà un valore negativo. Dato che
[math]\sqrt{-x}[/math]
, che è definita per tutti i valori di x negativi, è sicuramente maggiore di zero, sarà di certo maggiore di un valore negativo. Possiamo quindi concludere che la disequazione è verificata per tutti i valori di x appartenenti al dominio:
[math]\sqrt{-x} \gt -\epsilon \mbox{ , } \forall x \le 0[/math]
Passiamo ora alla seconda disequazione:
[math]\sqrt{-x} \lt - \epsilon[/math]
Possiamo elevare entrambi i membri al quadrato, e moltiplicare per - 1:
[math]\sqrt{-x} \lt -\epsilon \rightarrow x \lt (-\epsilon)^2 \rightarrow x \gt -\epsilon[/math]
Mettiamo ora a sistema le soluzioni derivanti dalle disequazioni precedenti:
[math] \begin{cases} x \le 0 \\ x \gt -\epsilon \end{cases} [/math]
Il risultato che otteniamo è l'intervallo
[math] ( -\epsilon; 0 ] [/math]
, che è un intorno sinistro di zero. Possiamo quindi concludere affermando che il limite verificato.
Limite per difetto e limite per eccesso
In alcuni casi, anche il limite della funzione può essere un limite per eccesso o un limite per difetto, cioè una funzione f(x) può tendere ad un valore l da destra o da sinistra; in questi casi, si scrive:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l^{+} \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l^{-}[/math]
Quindi, nel caso in cui la funzione tenda a l per eccesso, si ha che f(x) maggiore o uguale a
[math]l (f(x) \ge l)[/math]
, mentre, nel caso in cui la funzione tenda a l per difetto, abbiamo che
[math]f(x) \le l[/math]
, in un opportuno intorno di c.
Esempio di limite per eccesso
Verifichiamo il seguente limite:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} (x^2 + 2) = 2^{+}[/math]
In questo caso, fissato un valore piccolo a piacere
[math] \epsilon \gt 0 [/math]
, per verificare il limite basta risolvere la seguente disequazione:
[math]0 \le f(x) - l \lt \epsilon[/math]
e accertarci che la soluzione sia un intorno completo di zero; quindi, risolviamo la seguente disequazione:
[math]0 \le (x^2 + 2) - 2 \lt \epsilon[/math]
Da cui otteniamo:
[math]0 \le x^2 \lt \epsilon[/math]
La prima disequazione, cioè
[math]x^2 \ge 0[/math]
, è verificata per ogni x, mentre la seconda ha come soluzioni i valori interni all'intervallo delle radici.
Mettendo a sistema le soluzioni delle singole disequazioni, otteniamo che:
[math] \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R} \\ -\sqrt{\epsilon} \lt x \lt \sqrt{\epsilon} \end{cases} [/math]
La soluzione ottenuta, cioè l'intervallo (
[math]-\sqrt{\epsilon}; \sqrt{\epsilon})[/math]
, è effettivamente un intorno di zero, quindi possiamo concludere che il limite è verificato.
