Limiti di funzioni composte e funzioni inverse

Continuità delle funzioni inverse

Consideriamo una funzione del tipo y = f(x), che ha per dominio D, e per codominio C = f(D). Se tra C e D vi è una corrispondenza biunivoca, nel caso in cui, per esempio, la funzione è monotona, allora la funzione f(x) è invertibile, e si ha che:

\[ x = f^{-1}(x) = g(y) \]

è la funzione inversa, definita in C con valori in D. Il seguente teorema ci garantisce la continuità delle funzioni inverse:

Teorema: Se y = f(x) è una funzione continua in un insieme D, ed è invertibile in D, allora la funzione inversa x = g(y) è continua in C = f(D). Sono, pertanto, continue nel loro insieme di definizione le inverse delle funzioni circolari.

Limiti delle funzioni composte

Consideriamo due funzioni y = g(x) e z = f(y), definite rispettivamente, in D e D’. Sappiamo, quindi, che f(y) = f (g(x)) è una funzione composta, che possiamo indicare come ?°?.

Vediamo ora il seguente teorema sul limite della funzione composta:

Teorema : Se f(y) è continua per y = m, e si ha che, per x tendente a c, la funzione g(x) ha per limite m, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} g(x) = m \]

allora, il limite, per x tenente a c, della funzione composta corrisponde al valore assunto da f(y) per y = m:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(g(x)) = f(m) \]

Notiamo che, poiché la funzione g(x) tende ad m, per x tendente a c, possiamo anche riscrivere l’ultima uguaglianza portando il simbolo di limite dentro la funzione f, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(g(x)) = f\Big(\lim_{x\rightarrow c} g(x) \Big) \]

Esempio: Calcoliamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x+1}{x-1}} \]

Come possiamo notare, la funzione di cui dobbiamo calcolare il limite è data dalla composizione di due funzioni:

\[ f(x) = e^x \mbox{    ,     } g(x) = \frac{x+1}{x-1} \]

La funzione f(x), essendo la funzione esponenziale è continua per ogni x reale. La funzione g(x) è una funzione razionale fratta, e il grado del suo numeratore è uguale al grado del suo denominatore; quindi, il limite è dato dal rapporto tra i coefficienti della x di grado massimo di numeratore e denominatore:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{1} = 1 \]

Di conseguenza, per il teorema precedente, il limite della funzione composta è dato da:

\[ \lim_{x \rightarrow \infty} e^{\frac{x+1}{x-1}} = e^1 = e \]

 

Continuità delle funzioni composte

Consideriamo g(x), una funzione continua per x = c, essendo m il valore che essa assume per x = c, cioè m = g(c); consideriamo, poi, f(y), una funzione continua per y = m, dove y = g(x). Come abbiamo detto in precedenza, si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(g(x)) = f\Big(\lim_{x \rightarrow c} g(x) \Big) \]

e, per la continuità della funzione g(x), per x = c, tale limite sarà uguale al valore che la funzione assume per x = c; quindi, l’uguaglianza precedente diventa:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f(g(x)) = f(g(c)) \]

Possiamo, quindi, affermare che la funzione f(g(x)) è una funzione continua per x = c.

Esempi di funzioni continue

Sapendo che le funzioni composte sono continue, possiamo esaminare alcuni tipi di funzioni, ottenibili componendo altre funzioni, che sono anch’esse continue.

In particolare, consideriamo una funzione di questo tipo:

\[ y = [f(x)]^{g(x)} \]

Essa è definita per tutti i valori di x per i quali la base è positiva, e l’esponente esiste.

Ricordiamo che, per un’identità logaritmica, vale la seguente uguaglianza:

\[ x = a^{\log_a x} \]

che possiamo applicare anche nel caso in cui a = e, cioè:

\[ x = e^{\log x} \]

Qualsiasi potenza, quindi, può essere resa in forma esponenziale con e come base; in particolare, quindi, tornando alla funzione precedente, essa può essere scritta in questo modo:

\[ y = [f(x)]^{g(x)} = e^{\log[f(x)]^{g(x)} = e^{g(x)}\log f(x)} \]

Sapendo che le funzione f e g sono funzioni continue, e verificano il teorema sulle funzioni composte, anche la funzione

\[ y = [f(x)]^{g(x)} \]

è sicuramente continua nel suo dominio.

 

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