Limiti notevoli

Vi sono alcuni casi in cui, per determinate funzioni, non è possibile calcolare immediatamente un limite. Tuttavia, può essere dimostrato come tali funzioni tendano ad un valore particolare; questo tipo di funzioni dà luogo a dei limiti particolari, che vengono chiamati limiti notevoli.

Vediamo i limiti notevoli più importanti.

Limiti notevoli per x che tende a zero

I seguenti limiti notevoli, che valgono per x che tende a zero, riguardano funzioni i cui limiti presentano forme di indeterminazione del tipo:

\(\displaystyle [+\infty -\infty], [0\cdot \infty], \Big[\frac{0}{0}\Big], \Big[\frac{\infty}{\infty}\Big] \)

  • Il seguente limite notevole riguarda le funzioni logaritmiche; si può applicare sia nel caso di una base generica a del logaritmo, sia nel caso in cui la base sia il numero di Nepero e.
\[ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log_a (1+x)}{x} = \log_a e \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1 \]
  • Il limite notevole seguente riguarda le funzioni esponenziali, ed è valida nel caso in cui la base dell’espo2nenziale sia positiva:
\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log a \,\,\,\, , \,\,\,\, a \in \mathbb{R^{+}} \]

Il limite precedente si può applicare anche nel caso in cui a = e, e si ha:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \]
  • Il seguente limite notevole riguarda le funzioni goniometriche e, in particolare, afferma che il rapporto fra il seno di un angolo e la misura in radianti dell’angolo stesso tende a 1 quando l’angolo tende a zero:
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

 

Esempio: Calcoliamo il seguente limite:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x + \sin x}{x} \]

Le funzioni che compaiono al numeratore e al denominatore sono funzioni continue; tuttavia, se sostituiamo 1 alla x ci accorgiamo che il limite si presenta nella forma indeterminata [0/0]. Per risolvere tale limite, quindi, dobbiamo cercare di trasformare la funzione, e ricondurla a dei limiti che conosciamo. Possiamo, per esempio, separare i due addendi del numeratore e dividerli per il denominatore in questo modo:

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x+\sin x}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{x} + \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} 2 + \frac{\sin x}{x} \]

Notiamo, quindi, che nella funzione così trasformata compare il limite notevole che abbiamo esposto in precedenza; sapendo quindi che, per x → 0 la funzione senx/x tende a 1, il limite dell’esercizio può essere risolto in questo modo:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} 2 + \frac{\sin x}{x} = 2 + 1 = 3 \]

 

  • Un altro limite notevole molto importante riguarda il coseno di un angolo, ed è il seguente:
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]

Vi sono, poi, altri casi in cui non è possibile determinare immediatamente il limite di funzioni, poiché esse presentano altre forme di indeterminazione, che possono essere di questo tipo:

\( \Big[0^0\Big], \Big[\infty^0\Big], \Big[1^\infty\Big] \)

Molto spesso, le funzioni che presentano questo tipo di indeterminazione sono quelle della forma:

\( y = [f(x)]^{g(x)} \)

Non possiamo dare un metodo preciso che permetta di risolvere questi limiti, ma nella maggior parte dei casi, conviene trasformare la funzione in esponenziale per mezzo della seguente trasformazione:

\( y = e^{g(x) \log[f(x)]} \)

Altre volte, possiamo ricondurci ad uno dei seguenti limiti notevoli:

  • Il seguente limite vale per x che tende all’infinito, ed è uguale ad e ( numero di Nepero ):
\[ \lim_{x \rightarrow \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x = e \]
  • Dal limite precedente, possiamo ricavare un’importante conseguenza; per x che tende a zero, infatti, si ha che:
\[ \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \]

Esempio: Calcoliamo il seguente limite:

\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \Big(\frac{1}{x}\Big)^{\frac{1}{\log x+3}} \]

Questo limite si presenta nella forma indeterminata $0^0$, e quindi, non possiamo calcolare immediatamente il suo valore. Quindi, cerchiamo di trasformare la funzione, rendendola in forma esponenziale:

\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \Big( \frac{1}{x}^{\frac{1}{\log x + 3}}\Big) \)

Ricordando le proprietà dei logaritmi, la funzione che si trova ad esponente può essere scritta nel seguente modo:

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{1}{\log x + 3}\log(\frac{1}{x})} = \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{\log 1-\log x}{\log x + 3}}  = \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{-\log x}{\log x + 3}} \]

Questa scrittura non ci permette ancora di calcolare il valore del limite, in quanto la funzione che si trova ad esponente presenta una forma di indeterminazione del tipo [∞/∞]. Procediamo, quindi, mettendo in evidenza, a numeratore e a denominatore, \( \log x\):

Possiamo ora semplificare la funzione ad esponente, ed eliminare così l’indeterminazione:

\[ \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{-\log x}{\log x \cdot \Big(1+\frac{3}{\log x}\Big)}} = \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{-1}{1+\frac{3}{\log x}}} \]

Ora, sapendo che \( \log x \) tende all’infinito, la frazione che con denominatore \( \log x \) tende a zero; di conseguenza, la funzione che fa da esponente tende a -1. Il limite, quindi vale 1/e:

\( \lim_{x \rightarrow + \infty} e^{\frac{-1}{1+\frac{3}{\log x}}} = e^{\frac{-1}{1}} = e^{-1} = \frac{1}{e} \)

 

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