_stan
(320 punti)
7' di lettura

Illustriamo alcuni teoremi sui limiti, supponendo che i limiti di cui si parla esistano, e siano finiti. Tali teoremi sono utili per eseguire operazioni sui limiti.

Teorema: Siano ( f_1(x) ) e ( f_2(x) ) due funzioni che ammettono per x ? c (finito o infinito) limiti finiti, cio:

[ lim_{x
ightarrow c} f_1(x) = l_1 mbox{ , } lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = l_2 ]

allora, il limite della somma delle due funzioni esiste e coincide con la somma dei due limiti; allo stesso modo, il limite della differenza delle due funzioni esiste e coincide con la differenza dei limiti:

[ lim_{x
ightarrow c} [f_1(x)pm f_2(x)] = lim_{x
ightarrow c} f_1(x) pm lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = l_1 pm l_2 ]

Il teorema si pu applicare anche al caso di pi di due funzioni, e anche al caso in cui una di esse sia la funzione costante.

Nel caso in cui, invece, le funzioni abbiano limite infinito, dobbiamo distinguere diversi casi:

  • Se una funzione ha limite infinito e laltra ha limite finito, la loro somma algebrica ha come risultato infinito:
( egin{cases} lim_{x
ightarrow c} f_1(x) = l \ lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = pminfty end{cases} Rightarrow lim_{x
ightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = pm infty mbox{ , } lim_{x
ightarrow c} [f_1(x) - f_2(x)] = pm infty )
  • se entrambe le funzioni hanno limite pi infinito, la loro somma ha limite pi infinito:
( egin{cases} lim_{x
ightarrow c} f_1(x) = +infty \ lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = +infty end{cases} Rightarrow lim_{x
ightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = +infty )

In questo caso, nulla si pu dire della loro differenza;

  • se entrambe le funzioni hanno limite meno infinito, la loro somma ha limite meno infinito:
( egin{cases} lim_{x
ightarrow c} f_1(x) = -infty \ lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = -infty end{cases} Rightarrow lim_{x
ightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = -infty )

nulla si pu dire, per, della loro differenza;

  • se le funzioni hanno limite infinito, di segno discorde, allora la loro differenza vale infinito, e si ha:
( egin{cases} lim_{x
ightarrow c} f_1(x) = +infty \ lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = -infty end{cases} Rightarrow )

( Rightarrow lim_{x
ightarrow c} [f_1(x) - f_2(x)] = +infty mbox{ , } lim_{x
ightarrow c} [f_2(x) - f_1(x)] = -infty )

Non invece definita la loro somma.

Nei casi in cui non si pu dire nulla di un certo limite, cio se il limite si presenta nella forma + ? - ?, si parla di forma indeterminata.

Somma e differenza di funzioni continue

Il seguente teorema una conseguenza immediata del teorema precedente, e afferma che:

Teorema: la somma e la differenza di due funzioni continue in un punto c sono funzioni continue nel punto c.
Allo stesso modo, se le funzioni in questione sono continue in un intervallo I, allora la loro somma e la loro differenza sono funzioni continue in I.

Teorema: Limite del prodotto di due funzioni

Il limite del prodotto di una funzione per una costante uguale al prodotto della costante per il limite della funzione, cio:

[ lim_{x
ightarrow c} [k cdot f(x)] = k cdot lim_{x
ightarrow c} f(x) ]

In base ai teoremi precedenti, possiamo affermare che il limite di una combinazione lineare di funzioni, proprio la combinazione lineare dei limiti delle funzioni.

Quindi, se le funzioni in questione sono (f_1(x)) e (f_2(x)), e hanno limiti, rispettivamente, (l_1) e (l_2), allora si ha che:

[ lim_{x
ightarrow c} [kcdot f_1(x) + h cdot f_2(x)] = k cdot lim_{x
ightarrow c} f_1(x) + h cdot lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = k cdot l_1 + h cdot l_2 ]

Per questo motivo, si usa dire che il limite un operatore lineare.

Teorema: Il limite del prodotto di due funzioni uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni:

[ egin{cases} lim_{x
ightarrow c} f_1(x) = l_1 \ lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = l_2 end{cases} Rightarrow lim_{x
ightarrow c} [f_1(x)cdot f_2(x)] = l_1 cdot l_2 ]

Questo teorema pu essere esteso al caso di due o pi funzioni; possiamo quindi dire che il limite del prodotto di pi funzioni uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni; in particolare, se uno dei fattori tende a zero, e gli altri tendono al un valore finito, il limite del prodotto tende a zero.

Esaminiamo ora alcuni casi in cui il limite delle funzioni non sia finito.

  • se uno dei fattori tende allinfinito, e laltro ad un valore finito diverso da zero, allora il prodotto delle due funzioni tende allinfinito, con segno dato dalla regola dei segni:
[ egin{cases} lim_{x
ightarrow c} f_1(x) = l
e 0 \ lim_{x
ightarrow c} f_2(x) = infty end{cases} Rightarrow lim_{x
ightarrow c} [f_1(x) cdot f_2(x)] = infty ]
  • se entrambi i fattori tendono allinfinito, il prodotto delle funzioni tende allinfinito, con segno dato dalla regola dei segni.
Nel caso, invece, in cui uno dei fattori tende allinfinito e laltro tende a zero, non possiamo dire nulla sul prodotto delle funzioni, e ci troviamo di fronte ad una forma di indecisione del tipo ? ? 0.

Teorema: Il limite della potenza, con esponente intero n positivo, di una funzione che tende ad un limite finito la potenza ennesima del limite, cio:

Nel caso in cui il limite della funzione ?, se n pari il limite della potenza sar +?, mentre, se n dispari, il limite della potenza sar -?.

In sintesi

Forme indeterminate o di indecisione

[ frac{0}{0} mbox{; } frac{infty}{infty} mbox{; } 0 cdot infty mbox{; } infty - infty mbox{; } infty^{0} mbox{; } 0^0 mbox{; } 1^{infty} ]

Forme determinate in cui compaiono 0 e ?

[ frac{l}{infty} = 0 mbox{; } frac{l}{0} = infty mbox{; } frac{infty}{0} = infty mbox{; } frac{0}{infty} = 0 ]

[ infty cdot infty = infty mbox{; } +infty + infty = +inftymbox{; } -infty - infty = - infty ]