Operazioni sui limiti

Illustriamo alcuni teoremi sui limiti, supponendo che i limiti di cui si parla esistano, e siano finiti. Tali teoremi sono utili per eseguire operazioni sui limiti.

Teorema: Siano \( f_1(x) \) e \( f_2(x) \) due funzioni che ammettono per x → c (finito o infinito) limiti finiti, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l_1 \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = l_2 \]

allora, il limite della somma delle due funzioni esiste e coincide con la somma dei due limiti; allo stesso modo, il limite della differenza delle due funzioni esiste e coincide con la differenza dei limiti:

\[ \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x)\pm f_2(x)] = \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) \pm \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = l_1 \pm l_2 \]

Il teorema si può applicare anche al caso di più di due funzioni, e anche al caso in cui una di esse sia la funzione costante.

Nel caso in cui, invece, le funzioni abbiano limite infinito, dobbiamo distinguere diversi casi:

  • Se una funzione ha limite infinito e l’altra ha limite finito, la loro somma algebrica ha come risultato infinito:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = \pm\infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = \pm \infty \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) – f_2(x)] = \pm \infty \)

  • se entrambe le funzioni hanno limite più infinito, la loro somma ha limite più infinito:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = +\infty \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = +\infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = +\infty \)

In questo caso, nulla si può dire della loro differenza;

  • se entrambe le funzioni hanno limite meno infinito, la loro somma ha limite meno infinito:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = -\infty \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = -\infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) + f_2(x)] = -\infty \)

nulla si può dire, però, della loro differenza;

  • se le funzioni hanno limite infinito, di segno discorde, allora la loro differenza vale infinito, e si ha:

\( \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = +\infty \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = -\infty \end{cases} \Rightarrow \)

\( \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) – f_2(x)] = +\infty \mbox{ , } \lim_{x \rightarrow c} [f_2(x) – f_1(x)] = -\infty \)

Non è invece definita la loro somma.

Nei casi in cui non si può dire nulla di un certo limite, cioè se il limite si presenta nella forma + ∞ – ∞, si parla di forma indeterminata.

Somma e differenza di funzioni continue

Il seguente teorema è una conseguenza immediata del teorema precedente, e afferma che:

Teorema: la somma e la differenza di due funzioni continue in un punto c sono funzioni continue nel punto c.
Allo stesso modo, se le funzioni in questione sono continue in un intervallo I, allora la loro somma e la loro differenza sono funzioni continue in I.

Teorema: Limite del prodotto di due funzioni

Il limite del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \rightarrow c} f(x) \]

In base ai teoremi precedenti, possiamo affermare che il limite di una combinazione lineare di funzioni, è proprio la combinazione lineare dei limiti delle funzioni.

Quindi, se le funzioni in questione sono \(f_1(x)\) e \(f_2(x)\), e hanno limiti, rispettivamente, \(l_1\) e \(l_2\), allora si ha che:

\[ \lim_{x \rightarrow c} [k\cdot f_1(x) + h \cdot f_2(x)] = k \cdot \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) + h \cdot \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = k \cdot l_1 + h \cdot l_2 \]

Per questo motivo, si usa dire che il limite è un operatore lineare.

Teorema: Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni:

\[ \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l_1 \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = l_2 \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x)\cdot f_2(x)] = l_1 \cdot l_2 \]

Questo teorema può essere esteso al caso di due o più funzioni; possiamo quindi dire che il limite del prodotto di più funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle singole funzioni; in particolare, se uno dei fattori tende a zero, e gli altri tendono al un valore finito, il limite del prodotto tende a zero.

Esaminiamo ora alcuni casi in cui il limite delle funzioni non sia finito.

  • se uno dei fattori tende all’infinito, e l’altro ad un valore finito diverso da zero, allora il prodotto delle due funzioni tende all’infinito, con segno dato dalla regola dei segni:

\[ \begin{cases} \lim_{x \rightarrow c} f_1(x) = l \ne 0 \\ \lim_{x \rightarrow c} f_2(x) = \infty \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} [f_1(x) \cdot f_2(x)] = \infty \]

  • se entrambi i fattori tendono all’infinito, il prodotto delle funzioni tende all’infinito, con segno dato dalla regola dei segni.

Nel caso, invece, in cui uno dei fattori tende all’infinito e l’altro tende a zero, non possiamo dire nulla sul prodotto delle funzioni, e ci troviamo di fronte ad una forma di indecisione del tipo ∞ ∙ 0.

Teorema: Il limite della potenza, con esponente intero n positivo, di una funzione che tende ad un limite finito è la potenza ennesima del limite, cioè:

Nel caso in cui il limite della funzione è ±∞, se n è pari il limite della potenza sarà +∞, mentre, se n è dispari, il limite della potenza sarà -∞.

In sintesi

Forme indeterminate o di indecisione

\[ \frac{0}{0} \mbox{; } \frac{\infty}{\infty} \mbox{; } 0 \cdot \infty \mbox{; } \infty – \infty \mbox{; } \infty^{0} \mbox{; } 0^0 \mbox{; } 1^{\infty} \]

Forme determinate in cui compaiono 0 e ∞

\[ \frac{l}{\infty} = 0 \mbox{; } \frac{l}{0} = \infty \mbox{; } \frac{\infty}{0} = \infty \mbox{; } \frac{0}{\infty} = 0 \]

\[ \infty \cdot \infty = \infty \mbox{; } +\infty + \infty = +\infty\mbox{; } -\infty – \infty = – \infty \]

 

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