Teorema del confronto

I seguenti teoremi si possono applicare quando si vuole determinare il limite di una funzione.

Primo teorema del confronto

Se due funzioni h(x) e g(x) tendono allo stesso limite finito l, per x → c, con c finito o infinito, e una terza funzione f(x), in tutti i punti di un intorno di c, escluso al più x = c, è compresa tra le due precedenti, allora, anch’essa tende allo stesso limite l, per x → c:

\( \begin{cases} h(x) \le f(x) \le g(x) \\ \lim_{x \rightarrow c} h(x) = l \\ \lim_{x \rightarrow c} g(x) = l \end{cases} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} f(x) = l \)

In questi casi, quando si hanno delle funzioni h(x) , g(x) e f(x) tali che, in un certo intervallo, si ha h(x) ≤ f(x) ≤ g(x), allora si dice che, in quell’intervallo, la funzione h(x) è minorante della funzione f(x), e che la funzione g(x) è maggiorante della funzione f(x).

Secondo teorema del confronto

Se in tutti i punti di un intorno c, finito o infinito, escluso al più x = c, due funzioni sono tali che:

\[ |f(x) \le |g(x)| \]

e g(x) tende a zero per x → c, allora anche f(x) tende a zero per x → c.

Terzo teorema del confronto

Se in tutti i punti di un intorno di c, infinito o finito, escluso al più x = c, due funzioni sono tali che:

\[ |g(x)| \ge |f(x)| \]

e f(x) tende all’infinito per x → c, allora anche g(x) tende all’infinito per x → c.

Esistenza del limite per le funzioni monotone

Le funzioni monotone sono funzioni sempre crescenti o sempre decrescenti; per questo tipo di funzioni, vi sono teoremi che garantiscono l’esistenza del limite, sotto alcune condizioni.

Teorema Sia y = f(x) una funzione definita e crescente in un intorno sinistro I del punto c (il teorema è valido anche se I è un intorno di + ∞, cioè se c = +∞); allora, la funzione ammette limite per x che tende a c per difetto (cioè, da sinistra ), e in particolare si ha che:

  • se la funzione è limitata superiormente in I e se L è l’estremo superiore dei valori di f(x) al variare di x in I, allora si ha che: \[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = L^{-} \]
  • se la funzione non è limitata superiormente in I, allora il limite vale più infinito: \[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = +\infty \]

Teorema Sia y = f(x) una funzione definita e crescente in un intorno destro I del punto c (anche in questo caso, il teorema è valido anche se I è un intorno di – ∞, cioè se c = -∞ ); allora, la funzione ammette limite per x che tende a c per eccesso (cioè, da destra), e in particolare si ha che:

  • se la funzione è limitata inferiormente in I e se l è l’estremo inferiore dei valori di f(x) al variare di x in I, allora si ha che: \[ \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = l^{+} \]
  • se la funzione non è limitata inferiormente in I, allora il limite vale meno infinito: \[ \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = -\infty \]

I due teoremi precedenti possono essere illustrati anche nel caso di una funzione f(x) che sia definita e decrescente in un intorno I del punto c.

Teoremi sui limiti delle successioni

I teoremi generali sui limiti delle funzioni possono essere estesi anche ai limiti delle successioni.

Vediamo in particolare, i teoremi del confronto estesi alle successioni.

Primo teorema del confronto per le successioni

Se due successioni \( a_n \) e \( b_n \) tendono allo stesso limite finito l, e una terza successione \( c_n \) è compresa, definitivamente, tra le due precedenti, allora anche la successione \( c_n \) tende allo stesso limite l:

\( \begin{cases} \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = l \\ \lim_{n \rightarrow +\infty} b_n = l \\ a_n \le c_n \le b_n \end{cases} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow +\infty} c_n = l \)

Secondo teorema del confronto

Se due successioni \( a_n \) e \( b_n \) sono tali che, definitivamente, si abbia:

\[ |a_n| \le |b_n| \]

e se \( b_n \) ha per limite 0, allora anche \( a_n \) tende a zero:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0 \]

Terzo teorema del confronto per le successioni

Se due successioni \( a_n \) e \( b_n \) sono tali che, definitivamente, si abbia:

\[ |a_n| \le |b_n| \]

se \( a_n \) diverge, allora anche \( b_n \) tende all’infinito.

 

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