Teorema del confronto

I seguenti teoremi si possono applicare quando si vuole determinare il limite di una funzione.

Primo teorema del confronto

Se due funzioni h(x) e g(x) tendono allo stesso limite finito l, per x ? c, con c finito o infinito, e una terza funzione f(x), in tutti i punti di un intorno di c, escluso al pi x = c, compresa tra le due precedenti, allora, anchessa tende allo stesso limite l, per x ? c:

( egin{cases} h(x) le f(x) le g(x) \ lim_{x
ightarrow c} h(x) = l \ lim_{x
ightarrow c} g(x) = l end{cases} Rightarrow lim_{x
ightarrow c} f(x) = l )

In questi casi, quando si hanno delle funzioni h(x) , g(x) e f(x) tali che, in un certo intervallo, si ha h(x) ? f(x) ? g(x), allora si dice che, in quellintervallo, la funzione h(x) minorante della funzione f(x), e che la funzione g(x) maggiorante della funzione f(x).

Secondo teorema del confronto

Se in tutti i punti di un intorno c, finito o infinito, escluso al pi x = c, due funzioni sono tali che:

[ |f(x) le |g(x)| ]

e g(x) tende a zero per x ? c, allora anche f(x) tende a zero per x ? c.

Terzo teorema del confronto

Se in tutti i punti di un intorno di c, infinito o finito, escluso al pi x = c, due funzioni sono tali che:

[ |g(x)| ge |f(x)| ]

e f(x) tende allinfinito per x ? c, allora anche g(x) tende allinfinito per x ? c.

Esistenza del limite per le funzioni monotone

Le funzioni monotone sono funzioni sempre crescenti o sempre decrescenti; per questo tipo di funzioni, vi sono teoremi che garantiscono lesistenza del limite, sotto alcune condizioni.

Teorema Sia y = f(x) una funzione definita e crescente in un intorno sinistro I del punto c (il teorema valido anche se I un intorno di + ?, cio se c = +?); allora, la funzione ammette limite per x che tende a c per difetto (cio, da sinistra ), e in particolare si ha che:

• se la funzione limitata superiormente in I e se L lestremo superiore dei valori di f(x) al variare di x in I, allora si ha che: [ lim_{x
  ightarrow c^{-}} f(x) = L^{-} ]
• se la funzione non limitata superiormente in I, allora il limite vale pi infinito: [ lim_{x
  ightarrow c^{-}} f(x) = +infty ]

Teorema Sia y = f(x) una funzione definita e crescente in un intorno destro I del punto c (anche in questo caso, il teorema valido anche se I un intorno di - ?, cio se c = -? ); allora, la funzione ammette limite per x che tende a c per eccesso (cio, da destra), e in particolare si ha che:

• se la funzione limitata inferiormente in I e se l lestremo inferiore dei valori di f(x) al variare di x in I, allora si ha che: [ lim_{x
  ightarrow c^{+}} f(x) = l^{+} ]
• se la funzione non limitata inferiormente in I, allora il limite vale meno infinito: [ lim_{x
  ightarrow c^{+}} f(x) = -infty ]

I due teoremi precedenti possono essere illustrati anche nel caso di una funzione f(x) che sia definita e decrescente in un intorno I del punto c.

Teoremi sui limiti delle successioni

I teoremi generali sui limiti delle funzioni possono essere estesi anche ai limiti delle successioni.

Vediamo in particolare, i teoremi del confronto estesi alle successioni.

Primo teorema del confronto per le successioni

Se due successioni ( a_n ) e ( b_n ) tendono allo stesso limite finito l, e una terza successione ( c_n ) compresa, definitivamente, tra le due precedenti, allora anche la successione ( c_n ) tende allo stesso limite l:

( egin{cases} lim_{n
ightarrow +infty} a_n = l \ lim_{n
ightarrow +infty} b_n = l \ a_n le c_n le b_n end{cases} Rightarrow lim_{n
ightarrow +infty} c_n = l )

Secondo teorema del confronto

Se due successioni ( a_n ) e ( b_n ) sono tali che, definitivamente, si abbia:

[ |a_n| le |b_n| ]

e se ( b_n ) ha per limite 0, allora anche ( a_n ) tende a zero:

[ lim_{n
ightarrow +infty} a_n = 0 ]

Terzo teorema del confronto per le successioni

Se due successioni ( a_n ) e ( b_n ) sono tali che, definitivamente, si abbia:

[ |a_n| le |b_n| ]

se ( a_n ) diverge, allora anche ( b_n ) tende allinfinito.