Teoremi sui limiti

Teoremi generali

Per i limiti valgono i seguenti teoremi

Teorema di unicità del limite:

Se per x → c, la funzione f(x) ammette un limite, questo limite è unico.

Teorema della permanenza del segno:

Se per x → c la funzione f(x) tende al limite finito l diverso da zero, esiste un intorno di c per tutti i punti del quale, escluso a più c, i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite.

Questo teorema è valido anche per x → +∞, per x → -∞ e per x → ∞; inoltre,vale anche se il limite l è uguale a +∞ o -∞, mentre non è valido per l = ∞.

Esempio di verifica del teorema della permanenza del segno

Verifichiamo il teorema della permanenza del segno in un caso particolare; consideriamo la seguente funzione:

\[ f(x) = \frac{1-x^2}{100} \]

Il suo limite per x → 0 è 1/100, infatti possiamo verificare che la disequazione |f(x) – 1/100| < ε ha per soluzione un intorno di zero:

\( \Big|\frac{1-x^2}{100}-\frac{1}{100}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{1-x^2-1}{100}\Big| \lt \epsilon \rightarrow |x^2| \lt 100\epsilon \)

da cui otteniamo:

\[ -100 \epsilon \lt x^2 \lt 100 \epsilon \]

Possiamo separare le due disequazioni, e porle all’interno di un sistema:

\( \begin{cases} x^2 \lt 100\epsilon \\ x^2 \gt -100 \epsilon \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -10\sqrt{\epsilon} \lt x \lt 10\sqrt{\epsilon} \\ \forall x \in \mathbb{R} \end{cases} \)

Le soluzioni della disequazione di partenza, quindi, sono date dal seguente intervallo, che è un intorno di zero:

\[ -10\sqrt{\epsilon} \lt x \lt 10\sqrt{\epsilon} \]

Quindi, possiamo affermare che il limite di f(x), per x → 0, è proprio 1/100:

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-x^2}{100} = \frac{1}{100} \]

In questo caso, il limite cui tende la funzione è positivo, quindi per il teorema della permanenza del segno sappiamo che, in tutti i punti di un intorno di x = 0, eccetto al più x = 0, si ha che anche la funzione f(x) è positiva. In effetti, la funzione f(x) è maggiore di zero proprio in un intorno di zero:

\[ f(x) \gt 0 \rightarrow \frac{1-x^2}{100} \gt 0 \rightarrow -1 \lt x \lt 1 \]

Il teorema della permanenza del segno può anche essere invertito. Vediamo alcuni teoremi che ne derivano:

Teorema: Se in un intorno del punto c, escluso al più x = c, la funzione f(x) è positiva o nulla, ed ammette limite l per x → c, allora si ha che l ≥ 0.

Se, però, sappiamo che in un intorno di c, escluso al più x = c, la funzione f(x) è positiva, cioè f(x) > 0, non è detto che il limite l della funzione, per x → c, se esiste è positivo, infatti esso può essere anche nullo.

Infatti, la funzione quadratica elementare, y = x^2, è positiva in un intorno dell’origine, escluso x = 0, ma al tendere di x a zero, cioè per x → 0, assume proprio il valore zero ( l = 0 ).

Teorema: Se in un intorno del punto c, escluso al più x = c, la funzione è negativa o nulla, ed ammette limite l per x → c, allora si ha che l ≤ 0.

I teoremi appena enunciati hanno validità anche per x → +∞, per x → -∞ e per x → ∞. Possiamo, inoltre, estendere questi teoremi al caso dei limiti infiniti; vediamo il seguente teorema:

Teorema: Se una funzione f(x) ha limite infinito per x → c e in tutti i punti di un intorno di c, escluso al più x = c, risulta f(x) ≥ 0, allora per x → c la funzione ha limite +∞; se invece, in un intorno di c, escluso al più x = c, la funzione è negativa o nulla ( f(x) ≤ 0 ), il limite della funzione per x → c vale -∞.

Teorema sul limite del modulo di una funzione

Se per x → c la funzione f(x) tende ad un limite finito l, allora il limite del modulo della funzione equivale al modulo del limite, cioè:

\[ \lim_{x \rightarrow c} |f(x)| = |l| \]

 

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