Teoremi generali
Per i
limiti valgono i seguenti teoremi
Teorema di unicità del limite:
Se per
[math] x \to c [/math]
, la funzione f(x) ammette un limite, questo limite unico.
Teorema della permanenza del segno:
Se per
[math] x \to c [/math]
funzione f(x) tende al limite finito l diverso da zero, esiste un intorno di c per tutti i punti del quale, escluso a più c, i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite.
Questo teorema è valido anche per
[math] x \to +\infty [/math]
, per
[math] x \to -\infty [/math]
e per
[math] x \to \infty [/math]
; inoltre,vale anche se il limite l è uguale a
[math] +\infty o -\infty [/math]
, mentre non è valido per l = \infty.
Esempio di verifica del teorema della permanenza del segno
Verifichiamo il teorema della permanenza del segno in un caso particolare; consideriamo la seguente funzione:
[math] f(x) = \frac{1-x^2}{100}[/math]
Il suo limite per
[math] x \to 0 [/math]
è 1/100, infatti possiamo verificare che la disequazione
[math] |f(x) - \frac{1}{100}| \lt \epsilon [/math]
ha per soluzione un intorno di zero:
[math]\Big|\frac{1-x^2}{100}-\frac{1}{100}\Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{1-x^2-1}{100}\Big| \lt \epsilon \rightarrow |x^2| \lt 100\epsilon[/math]
da cui otteniamo:
[math] -100 \epsilon \lt x^2 \lt 100 \epsilon[/math]
Possiamo separare le due disequazioni, e porle all'interno di un sistema:
[math] \begin{cases} x^2 \lt 100\epsilon \\ x^2 \gt -100 \epsilon \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -10\sqrt{\epsilon} \lt x \lt 10\sqrt{\epsilon} \\ \forall x \in \mathbb{R} \end{cases} [/math]
Le soluzioni della disequazione di partenza, quindi, sono date dal seguente intervallo, che è un intorno di zero:
[math] -10\sqrt{\epsilon} \lt x \lt 10\sqrt{\epsilon}[/math]
Quindi, possiamo affermare che il limite di f(x), per
[math] x \to 0 [/math]
, è proprio 1/100:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-x^2}{100} = \frac{1}{100}[/math]
In questo caso, il limite cui tende la funzione è positivo, quindi per il teorema della permanenza del segno sappiamo che, in tutti i punti di un intorno di x = 0, eccetto al più x = 0, si ha che anche la funzione f(x) è positiva.
In effetti, la funzione f(x) è maggiore di zero proprio in un intorno di zero:
[math] f(x) \gt 0 \rightarrow \frac{1-x^2}{100} \gt 0 \rightarrow -1 \lt x \lt 1[/math]
Il teorema della permanenza del segno può anche essere invertito. Vediamo alcuni teoremi che ne derivano:
Teorema: Se in un intorno del punto c, escluso al più x = c, la funzione f(x) è positiva o nulla, ed ammette limite l per
[math] x \to c [/math]
, allora si ha che
[math] l \ge 0 [/math]
.
Se, però, sappiamo che in un intorno di c, escluso al più x = c, la funzione f(x) è positiva, cioè f(x) > 0, non è detto che il limite l della funzione, per
[math] x \to c [/math]
, se esiste è positivo, infatti esso può essere anche nullo.
Infatti, la funzione quadratica elementare, y = x^2, è positiva in un intorno dell'origine, escluso x = 0, ma al tendere di x a zero, cioè per
[math] x \to 0 [/math]
, assume proprio il valore zero
[math]l = 0[/math]
.
Teorema: Se in un intorno del punto c, escluso al più x = c, la funzione è negativa o nulla, ed ammette limite l per
[math] x \to c [/math]
, allora si ha che
[math] l \le 0 [/math]
.
I teoremi appena enunciati hanno validità anche per
[math]x \to +\infty[/math]
,
[math]x \to -\infty[/math]
e
[math]x \to \infty[/math]
. Possiamo, inoltre, estendere questi teoremi al caso dei limiti infiniti; vediamo il seguente teorema:
Teorema: Se una funzione f(x) ha limite infinito per
[math] x \to c [/math]
e in tutti i punti di un intorno di c, escluso al più x = c, risulta
[math] f(x) \gt 0 [/math]
, allora per
[math] x \to c [/math]
la funzione ha limite [maht] +\infty [/math]; se invece, in un intorno di c, escluso al più x = c, la funzione è negativa o nulla
[math]f(x) \le 0[/math]
, il limite della funzione per
[math] x \to c [/math]
vale
[math] -\infty [/math]
.
Teorema sul limite del modulo di una funzione
Se per
[math] x \to c [/math]
la funzione f(x) tende ad un limite finito l, allora il limite del modulo della funzione equivale al modulo del limite, cioè:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} |f(x)| = |l|[/math]
