Definizione 1: Equazione esponenziale risolvibile con i logaritmi
Siano
[
f(x)=g(x)
]
unequazione esponenziale risolvibile con i logaritmi.
Per esempio
Metodo risolutivo: La risoluzione di unequazione del tipo illustrato nella definizione 1 si svolge sempre nello stesso modo, ed quindi piuttosto semplice.
Dal momento che, per definizione, entrambi i membri dellequazione in esame sono positivi, essi possono essere gli argomenti di opportuni logaritmi di qualsiasi base[
f(x)=g(x)Leftrightarrowlog_{b}f(x)=log_{b}g(x)
]
cosicch invece della prima, possiamo risolvere la seconda equazione. Questultima ha il vantaggio di contenere logaritmi di prodotti e quozienti, che diventano somme algebriche di logaritmi applicando le propriet studiate. Visto che poi lincognita
Osservazione 1: Quando nel corso del metodo risolutivo applichiamo i logaritmi, questi si possono prendere di qualsiasi base
Osservazione 2: Questo metodo ci consente in realt di risolvere una classe pi ampia di equazioni esponenziali, per la precisione tutte quelle che possono essere ridotte alla forma richiesta dalla definizione 1 attraverso appropriati passaggi preventivi; questi consistono tipicamente in sostituzioni e messe in evidenza.
Osservazione 3: Il fatto che i termini
Esempi di risoluzione con i logaritmi di equazioni esponenziali
Esempio 1: Si vuole risolvere lequazione (2^{x+1}=3^{2x-1}).In questo esercizio figurano due esponenziali i quali non possono essere ridotti alla stessa base, dal momento che 2 e 3 sono due numeri primi fra loro. Daltro canto, ponendo
[
f(x)=2^{x+1},enspace g(x)=3^{2x-1}
]
lequazione si pu riscrivere come
Il primo passo del metodo risolutivo consiste nella scelta di una base
[
log_{e}f(x)=log_{e}g(x)Rightarrow lnleft(2^{x+1}
ight)=lnleft(3^{2x-1}
ight)
]
Applichiamo subito la propriet del logaritmo di una potenza: otteniamo cos unequazione algebrica molto facile da risolvere in pochi passaggi:
[left(x+1
ight)ln2=left(2x+1
ight)ln3Rightarrow xln2-2xln3\
xleft(ln2-2ln3
ight)=-left(ln3+ln2
ight)Rightarrow]
[ Rightarrow x=frac{ln3+ln2}{2ln3-ln2}=frac{ln6}{lnfrac{9}{2}}=log_{9/2}6]
Negli ultimi passaggi abbiamo, come si suol dire, contratto i logaritmi: ci significa che, adoperando successivamente le propriet di potenza, di prodotto e di quoziente, e in ultimo facendo un cambio di base, ci siamo ridotti a scrivere la soluzione come un unico logaritmo. Lesercizio cos completato.
Esempio 2: Si vuole risolvere lequazione (3^{x+1}+3^{2x+1}=6^x+2^x).
Questa equazione non direttamente risolubile attraverso lapplicazione dei logaritmi, anche se i due termini sono entrambi positivi; infatti nel membro di sinistra compare unaddizione, che non potremmo semplificare con le propriet dei logaritmi. Occorre allora fare dei passaggi preventivi che ci riportino, se possibile, alla situazione descritta nella definizione 1. Procederemo cos:
[3^{x+1}+3^{2x+1}=6^x+2^xRightarrow 3cdot3^x+3cdot3^{2x}=3^x2^x+2^xRightarrow]
[3cdot3^xleft(1+3^x
ight)=2^xleft(1+3^x
ight)Rightarrow 3^{x+1}=2^x]
Nei primi due passaggi ci siamo limitati a usare le propriet delle potenze e a mettere un termine in evidenza. Il terzo passaggio, nel quale abbiamo semplificato tale termine, si pu fare perch visto che gli esponenziali sono sempre positivi, lequazione
[log_{2}left(3^{x+1}
ight)=log_{2}2^xRightarrowleft(x+1
ight)log_{2}3=xRightarrow x=frac{log_{2}3}{1-log_{2}3}]