Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Definizione 1: Equazione esponenziale risolvibile con i logaritmi
Siano

e due funzioni formate da prodotti e quozienti di termini positivi, in cui la compare solo in alcuni degli esponenti. Allora lequazione
[
f(x)=g(x)
]
unequazione esponenziale risolvibile con i logaritmi.
Per esempio unequazione esponenziale.

Metodo risolutivo: La risoluzione di unequazione del tipo illustrato nella definizione 1 si svolge sempre nello stesso modo, ed quindi piuttosto semplice.

Dal momento che, per definizione, entrambi i membri dellequazione in esame sono positivi, essi possono essere gli argomenti di opportuni logaritmi di qualsiasi base

. Poich poi il logaritmo una funzione invertibile tra e , senzaltro vale lequivalenza
[
f(x)=g(x)Leftrightarrowlog_{b}f(x)=log_{b}g(x)
]
cosicch invece della prima, possiamo risolvere la seconda equazione. Questultima ha il vantaggio di contenere logaritmi di prodotti e quozienti, che diventano somme algebriche di logaritmi applicando le propriet studiate. Visto che poi lincognita compare solo allesponente, usando la propriet del logaritmo di una potenza potremo convertire la nostra equazione logaritmica in una algebrica: otterremo cio solo varie potenze di moltiplicate per numeri reali, questi tipicamente in forma di logaritmo. Visto che siamo gi in grado di risolvere tali equazioni algebriche, potremo poi facilmente ricavare la soluzione a partire da questo passaggio.

Osservazione 1: Quando nel corso del metodo risolutivo applichiamo i logaritmi, questi si possono prendere di qualsiasi base

, purch naturalmente risulti e . Di solito si preferisce adoperare i logaritmi naturali, ma ci possono essere casi in cui lutilizzo di una base diversa da semplifica i passaggi successivi.

Osservazione 2: Questo metodo ci consente in realt di risolvere una classe pi ampia di equazioni esponenziali, per la precisione tutte quelle che possono essere ridotte alla forma richiesta dalla definizione 1 attraverso appropriati passaggi preventivi; questi consistono tipicamente in sostituzioni e messe in evidenza.

Osservazione 3: Il fatto che i termini

e debbano essere entrambi positivi viene adoperato nel corso del metodo risolutivo allorch essi diventano argomenti di logaritmi, che per definizione devono essere maggiori di 0. Se e sono entrambi negativi, naturalmente si pu cambiare il segno nellequazione e ridursi al primo caso; se invece essi fossero di segno opposto, allora lequazione si ridurrebbe a la quale non ammette soluzione poich il codominio dellesponenziale .

Esempi di risoluzione con i logaritmi di equazioni esponenziali

Esempio 1: Si vuole risolvere lequazione (2^{x+1}=3^{2x-1}).
In questo esercizio figurano due esponenziali i quali non possono essere ridotti alla stessa base, dal momento che 2 e 3 sono due numeri primi fra loro. Daltro canto, ponendo
[
f(x)=2^{x+1},enspace g(x)=3^{2x-1}
]
lequazione si pu riscrivere come , con entrambi i termini positivi, visto che sono esponenziali. Inoltre la compare solo allesponente sia in che in , e in nessuno dei due termini figurano addizioni e sottrazioni: ricadiamo perci nel caso di unequazione esponenziale risolubile tramite logaritmi.
Il primo passo del metodo risolutivo consiste nella scelta di una base , e in questo caso le scelte pi sensate sono 2, 3 o ; com buona abitudine, consideriamo . Allora segue
[
log_{e}f(x)=log_{e}g(x)Rightarrow lnleft(2^{x+1}
ight)=lnleft(3^{2x-1}
ight)
]
Applichiamo subito la propriet del logaritmo di una potenza: otteniamo cos unequazione algebrica molto facile da risolvere in pochi passaggi:
[left(x+1
ight)ln2=left(2x+1
ight)ln3Rightarrow xln2-2xln3\
xleft(ln2-2ln3
ight)=-left(ln3+ln2
ight)Rightarrow]

[ Rightarrow x=frac{ln3+ln2}{2ln3-ln2}=frac{ln6}{lnfrac{9}{2}}=log_{9/2}6]
Negli ultimi passaggi abbiamo, come si suol dire, contratto i logaritmi: ci significa che, adoperando successivamente le propriet di potenza, di prodotto e di quoziente, e in ultimo facendo un cambio di base, ci siamo ridotti a scrivere la soluzione come un unico logaritmo. Lesercizio cos completato.

Esempio 2: Si vuole risolvere lequazione (3^{x+1}+3^{2x+1}=6^x+2^x).
Questa equazione non direttamente risolubile attraverso lapplicazione dei logaritmi, anche se i due termini sono entrambi positivi; infatti nel membro di sinistra compare unaddizione, che non potremmo semplificare con le propriet dei logaritmi. Occorre allora fare dei passaggi preventivi che ci riportino, se possibile, alla situazione descritta nella definizione 1. Procederemo cos:
[3^{x+1}+3^{2x+1}=6^x+2^xRightarrow 3cdot3^x+3cdot3^{2x}=3^x2^x+2^xRightarrow]

[3cdot3^xleft(1+3^x
ight)=2^xleft(1+3^x
ight)Rightarrow 3^{x+1}=2^x]
Nei primi due passaggi ci siamo limitati a usare le propriet delle potenze e a mettere un termine in evidenza. Il terzo passaggio, nel quale abbiamo semplificato tale termine, si pu fare perch visto che gli esponenziali sono sempre positivi, lequazione

non ammette soluzione, cosicch siamo certi di non aver erroneamente semplificato uno 0. Lequazione risultante pu essere risolta con il metodo risolutivo esposto prima; in questo caso prenderemo .
[log_{2}left(3^{x+1}
ight)=log_{2}2^xRightarrowleft(x+1
ight)log_{2}3=xRightarrow x=frac{log_{2}3}{1-log_{2}3}]