Mediante le proprietà dei logaritmi è possibile trasformare moltiplicazioni e divisioni in addizioni e sottrazioni, oppure elevamento a potenza ed estrazioni di radice in moltiplicazioni e divisioni. Esaminiamo in questo appunto le procedure di risoluzione delle disequazioni logaritmiche di tipo elementare in forma canonica e con due logaritmi.
Disequazione logaritmica elementare
Si dice disequazione logaritmica una disequazione in cui l’incognita- [math]log_{a}f(x)>0[/math]
- [math]log_{a}f(x)[math]log_{a}f(x)\geq 0[/math]
- [math]a>1[/math]
- [math]0
Il campo di esistenza della funzione logaritmica è l'insieme dei numeri reali positivi,
[math]\Re^+[/math].
Il suo codominio è l’insieme[math]\Re[/math].
Il grafico della funzione logaritmica si sviluppa dunque nel primo e nel quarto quadrante del piano cartesiano, le ascisse dei punti del grafico possono avere solo valori positivi ed è presente una sola intersezione con l'asse x, punto in cui la funzione assume il valore zero, in questo caso l'argomento del logaritmo è uguale ad uno.
Quando la base del logaritmo è positiva e maggiore di 1 la funzione ha andamento crescente nel suo dominio.
Quando la base del logaritmo è compresa tra 0 ed 1 la funzione ha andamento decrescente nel suo dominio.
In[math]x=1[/math], la funzione ha uno zero, il suo segno cambia proprio in corrispondenza di questo valore. Le disequazioni si risolvono sfruttando la monotonia della funzione, applicando semplicemente la definizione di funzione crescente o decrescete.
Le disequazioni elementari scritte in elenco sopra, vanno risolte come segue nei due casi:1.
[math]a>1[/math]- [math]log_{a}f(x)>0 \to f(x)>1[/math]
- [math]log_{a}f(x)[math]log_{a}f(x)\geq 0 \to f(x) \geq 1[/math][math]log_{a}f(x)\leq 0 \to f(x) \leq 1[/math]
2.
[math]0- [math]log_{a}f(x)>0 \to f(x)[math]log_{a}f(x)1[/math][math]log_{a}f(x)\geq 0 \to f(x) \leq 1[/math]
Esempi di risoluzione di disequazioni logaritmiche elementari
Esempio 1[math]log_{3}(5-x)>0[/math]La base del logaritmo è maggiore di uno, siamo nel primo caso, la funzione è crescente e quindi il verso della disequazione rimane lo stesso anche quando confrontiamo gli argomenti.
Scriviamo il sistema risolvente:[math]\begin{cases}5-x>0\\ 5-x>1\end{cases}[/math][math]\begin{cases}xLa disequazione è verificata per:
[math]xEsempio 2
[math]log_{1\over 2}(x+4)\leq 0[/math]La base del logaritmo è minore di uno, siamo nel secondo caso, la funzione è decrescente e quindi il verso della disequazione cambia quando confrontiamo gli argomenti.
Scriviamo il sistema risolvente:[math]\begin{cases}x+4>0\\ x+4\geq 1\end{cases}[/math][math]\begin{cases}x>-4\\ x\geq-3\end{cases}[/math]La disequazione è verificata per:
[math]x\geq -3[/math]Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà dei logaritmi vedi qua
Disequazioni logaritmiche, caso generale
Una disequazione logaritmica nel caso generale si presenta nella forma in cui sono presenti due logaritmi uno per ciascun membro della disequazione, possiamo aver i seguenti casi:- [math]log_{a}f(x)> log_{a}g(x)[/math]
- [math]log_{a}f(x)[math]log_{a}f(x)\geq log_{a}g(x)[/math]
- 1. [math]a>1[/math]
- 2. [math]0 In questo caso il procedimento prevede la scrittura delle condizioni di esistenza per entrambe le funzioni che costituiscono l'argomento dei logaritmi e la disequazione tra esse, che conserva lo stesso segno se la base è maggiore di uno, ma viene invertita nell'altro caso.
Una disequazione con due logaritmi equivale pertanto ad un sistema di tre disequazioni. Consideriamo per semplicità la prima disequazione:[math]log_{a}f(x)> log_{a}g(x)[/math]Il sistema risolutivo è:
[math]\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\\f(x)>g(x)\end{cases}[/math]Una disequazione con due logaritmi in base
[math]0, equivale al sistema di tre disequazioni che segue. Consideriamo sempre la prima disequazione:[math]log_{a}f(x) >log_{a}g(x)[/math]Il sistema risolutivo è:
[math]\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\\f(x)Le due funzioni f(x) e g(x) sono funzioni reali della variabile reale
[math]x[/math]. Nell'argomento del logaritmo possiamo trovare; funzioni algebriche del tipo razionale intera o fratta; funzioni irrazionali; funzioni goniometriche; funzioni goniometriche inverse.
La natura della funzione presente nell'argomento tende a complicare lo svolgimento del sistema di disequazioni associato, ma la procedura risolutiva resta la stessa.
Esempi di risoluzione di disequazioni logaritmiche nel caso generale
Esempio 3[math]log_{2}(3x-5)> log_{2}(x)[/math]La base del logaritmo è maggiore di uno, siamo nel primo caso, la funzione è crescente e quindi il verso della disequazione rimane lo stesso anche quando confrontiamo gli argomenti.
Scriviamo il sistema risolvente:[math]\begin{cases}3x-5>0\\x>0\\3x-5>x\end{cases}[/math]Sono tre semplici disequazioni di primo grado:
[math]\begin{cases}3x>5\\x>0\\2x>5\end{cases}[/math][math]\begin{cases}x>{5 \over 3}\\x>0\\x>{5 \over 2}\end{cases}[/math]La prima condizione è implicita nelle altre due, per cui otteniamo come soluzione:
[math] x>{5 \over 2} [/math]Esempio 4
[math]log_{1\over 2}(4-x)> log_{1\over 2}(x+2)[/math]La base del logaritmo è minore di uno, siamo nel secondo caso, la funzione è decrescente e quindi il verso della disequazione deve essere invertito:
Scriviamo il sistema risolvente:[math]\begin{cases}4-x>0\\x+2>0\\4-x[math]\begin{cases}x-2\\x>1\end{cases}[/math]La seconda condizione è implicita nelle altre due, per cui otteniamo come soluzione:
[math]1
