Altri operatori logici

Definizioni

Definizione 1: Implicazione.
Siano date due proposizioni $p$ e $q$. Si chiama implicazione da $p$ a $q$ e si scrive $p\to q$ (che si legge $p$ implica $q$) quella proposizione che risulta falsa se e solo se $p$ è vera e $q$ è falsa.

Osservazione 1: L’implicazione serve a tradurre in linguaggio matematico ragionamenti logici del tipo “se succede $p$, allora succede $q$”. I valori di verità assunti dall’implicazione sono riassunti nella tavola di verità seguente:
\[
\displaystyle
\boxed{
\begin{array}{c|c|c}
p & q & p \to q \\
\hline
V & V & V \\
V & F & F \\
F & V & V \\
F & F & V
\end{array}
}
\]

Osservazione 2: Potrà sembrare strano che dalla falsità di $p$ l’implicazione faccia seguire la verità di $p\to q$ indipendentemente dal valore di verità di $q$, come si legge nelle ultime due righe della precedente tavola di verità. Ciò è ascrivibile all’osservazione che “ex falso quodlibet”, ovvero che “dal falso segue qualsiasi cosa”; si confrontino gli esempi per maggiori chiarimenti in merito a tale questione.

Definizione 2: Doppia implicazione.
Siano date due proposizioni $p$ e $q$. Si chiama doppia implicazione di $p$ e $q$ e si scrive $p\leftrightarrow q$ (che si legge p se e solo se q) quella proposizione che risulta vera allorché $p$ e $q$ hanno lo stesso valore di verità, e falsa altrimenti.

Osservazione 3: La doppia implicazione ha la funzione di tradurre in linguaggio matematico il concetto di equivalenza tra due proposizioni, ovvero ragionamenti logici del tipo “$p$ si verifica in tutti e soli i casi in cui si verifica $q$” o “$p$ è equivalente a $q$”. I valori di verità assunti dalla doppia implicazione sono riassunti nella tavola di verità seguente:
\[
\displaystyle
\boxed{
\begin{array}{c|c|c}
p & q & p \leftrightarrow q \\
\hline
V & V & V \\
V & F & F \\
F & V & F \\
F & F & V
\end{array}
}
\]

Definizione 3: Disgiunzione esclusiva.
Siano date due proposizioni $p$ e $q$. Si chiama disgiunzione esclusiva di $p$ e $q$ e si scrive \(p\dot{\vee}q\) (che si legge p xor q) quella proposizione che risulta vera allorché $p$ e $q$ hanno valori di verità distinti, e falsa altrimenti.

Osservazione 4: La disgiunzione esclusiva serve a tradurre in linguaggio matematico i ragionamenti logici del tipo “o si verifica $p$ o si verifica $q$, ma mai entrambe contemporaneamente”. I valori di verità assunti dalla disgiunzione esclusiva sono riassunti nella tavola di verità seguente:
\[
\displaystyle
\boxed{
\begin{array}{c|c|c}
p & q & p\dot{\vee}q \\
\hline
V & V & F \\
V & F & V \\
F & V & V \\
F & F & F
\end{array}
}
\]

Osservazione 5: La negazione della disgiunzione logica equivale alla doppia implicazione, e viceversa: infatti ciascuna di esse è vera se e soltanto se l’altra è falsa, in tutte le possibili interpretazioni. In linguaggio logico, ciò si afferma dicendo che la seguente proposizione
\[
(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow (\overline{p\dot{\vee}q})
\]
è una tautologia.

Osservazione 6: La disgiunzione normale e quella esclusiva si differenziano nel caso in cui $p$ e $q$ sono entrambe vere: in tal caso infatti il valore di verità di $p\vee q$ è V, mentre quello di \(p\dot{\vee}q\) è F. Ciò è da ascrivere al fatto che il senso della disgiunzione è “almeno una tra $p$ e $q$ è vera”, mentre quello della disgiunzione esclusiva è “esattamente una tra $p$ e $q$ è vera”.

 

Esempi

Esempio 1: Si considerino le due proposizioni seguenti:

  1. \(\;p\): “Domani pioverà”
  2. \(\;q\): “Domani aprirò l’ombrello”

Si analizzino i significati intuitivi delle varie interpretazioni della proposizione \(p\to q\).

L’implicazione logica \(p\to q\) in tal caso significa “Se domani pioverà, aprirò l’ombrello”. Nel caso in cui l’interpretazione considerata assegni a $p$ il valore di verità V, allora siamo nel caso in cui domani pioverà: se aprirò l’ombrello, \(p\to q\) sarà vera, altrimenti risulterà falsa, come è logico aspettarsi. Se però sin dal principio $p$ è falsa nell’interpretazione, ovvero se domani non pioverà, nulla si può dire della mia volontà di aprire o meno l’ombrello in tale situazione: magari lo aprirò per il troppo sole. Dunque se $p$ è falsa, \(p\to q\) è certamente vera indipendentemente dal valore di verità di $q$.

 

Commenti

commenti