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Definizioni

Definizione 1: Implicazione.
Siano date due proposizioni
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
. Si chiama implicazione da
[math]p[/math]
a
[math]q[/math]
e si scrive
[math]p\to q[/math]
(che si legge
[math]p[/math]
implica
[math]q[/math]
) quella proposizione che risulta falsa se e solo se
[math]p[/math]
vera e
[math]q[/math]
falsa.

Osservazione 1: Limplicazione serve a tradurre in linguaggio matematico ragionamenti logici del tipo se succede

[math]p[/math]
, allora succede
[math]q[/math]
.
I valori di verit assunti dallimplicazione sono riassunti nella tavola di verit seguente:
[
displaystyle
oxed{
egin{array}{c|c|c}
p&q&p o q \
hline
V&V&V \
V&F&F \
F&V&V \
F&F&V
end{array}
}
]

Osservazione 2: Potr sembrare strano che dalla falsit di

[math]p[/math]
limplicazione faccia seguire la verit di
[math]p\to q[/math]
indipendentemente dal valore di verit di
[math]q[/math]
, come si legge nelle ultime due righe della precedente tavola di verit. Ci ascrivibile allosservazione che ex falso quodlibet, ovvero che dal falso segue qualsiasi cosa; si confrontino gli esempi per maggiori chiarimenti in merito a tale questione.

Definizione 2: Doppia implicazione.
Siano date due proposizioni

[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
. Si chiama doppia implicazione di
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
e si scrive
[math]p\left\
ightarrow q[/math]
(che si legge p se e solo se q) quella proposizione che risulta vera allorch
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
hanno lo stesso valore di verit, e falsa altrimenti.

Osservazione 3: La doppia implicazione ha la funzione di tradurre in linguaggio matematico il concetto di equivalenza tra due proposizioni, ovvero ragionamenti logici del tipo

[math]p[/math]
si verifica in tutti e soli i casi in cui si verifica
[math]q[/math]
o
[math]p[/math]
equivalente a
[math]q[/math]
. I valori di verit assunti dalla doppia implicazione sono riassunti nella tavola di verit seguente:
[
displaystyle
oxed{
egin{array}{c|c|c}
p&q&p leftrightarrow q \
hline
V&V&V \
V&F&F \
F&V&F \
F&F&V
end{array}
}
]

Definizione 3: Disgiunzione esclusiva.
Siano date due proposizioni

[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
. Si chiama disgiunzione esclusiva di
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
e si scrive (pdot{vee}q) (che si legge p xor q) quella proposizione che risulta vera allorch
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
hanno valori di verit distinti, e falsa altrimenti.

Osservazione 4: La disgiunzione esclusiva serve a tradurre in linguaggio matematico i ragionamenti logici del tipo o si verifica

[math]p[/math]
o si verifica
[math]q[/math]
, ma mai entrambe contemporaneamente. I valori di verit assunti dalla disgiunzione esclusiva sono riassunti nella tavola di verit seguente:
[
displaystyle
oxed{
egin{array}{c|c|c}
p&q&pdot{vee}q \
hline
V&V&F \
V&F&V \
F&V&V \
F&F&F
end{array}
}
]

Osservazione 5: La negazione della disgiunzione logica equivale alla doppia implicazione, e viceversa: infatti ciascuna di esse vera se e soltanto se laltra falsa, in tutte le possibili interpretazioni. In linguaggio logico, ci si afferma dicendo che la seguente proposizione
[
(pleftrightarrow q)leftrightarrow (overline{pdot{vee}q})
]
una tautologia.

Osservazione 6: La disgiunzione normale e quella esclusiva si differenziano nel caso in cui

[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
sono entrambe vere: in tal caso infatti il valore di verit di
[math]p\vee q[/math]
V, mentre quello di (pdot{vee}q) F. Ci da ascrivere al fatto che il senso della disgiunzione almeno una tra
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
vera, mentre quello della disgiunzione esclusiva esattamente una tra
[math]p[/math]
e
[math]q[/math]
vera.

Esempi

Esempio 1: Si considerino le due proposizioni seguenti:
  1. (;p): Domani piover
  2. (;q): Domani aprir lombrello
Si analizzino i significati intuitivi delle varie interpretazioni della proposizione (p o q).

Limplicazione logica (p o q) in tal caso significa Se domani piover, aprir lombrello. Nel caso in cui linterpretazione considerata assegni a

[math]p[/math]
il valore di verit V, allora siamo nel caso in cui domani piover: se aprir lombrello, (p o q) sar vera, altrimenti risulter falsa, come logico aspettarsi. Se per sin dal principio
[math]p[/math]
falsa nellinterpretazione, ovvero se domani non piover, nulla si pu dire della mia volont di aprire o meno lombrello in tale situazione: magari lo aprir per il troppo sole. Dunque se
[math]p[/math]
falsa, (p o q) certamente vera indipendentemente dal valore di verit di
[math]q[/math]
.