La Logica dei predicati: definizioni ed esempi

Mentre la logica proposizionale si occupa di studiare i rapporti di verità che intercorrono tra le varie proposizioni, la logica dei predicati riguarda la composizione e la struttura interna delle proposizioni stesse. Essa si basa sule definizioni seguenti.

Definizioni

Definizione 1: Variabile.
In logica dei predicati si chiama variabile qualsiasi ente per cui abbia senso dire che una determinata proprietà vale o meno. Le variabili vengono normalmente indicate con le lettere $x,y…$

Definizione 2: Predicato.
In logica dei predicati si chiama predicato una qualsiasi proprietà che possa o meno valere per una variabile o per un gruppo di variabili. I predicati vengono indicati con vari simboli a seconda delle necessità; il simbolo generico è $p$, e per dire che la variabile $x$ verifica il predicato $p$ si usa il simbolo $p(x)$.

Osservazione 1: Le definizioni 1 e 2 di variabile e predicato così come le abbiamo date sono estremamente naive, e danno luogo a numerosi paradossi; esse si basano infatti sui concetti supposti primitivi di “ente” e “proprietà”, che in realtà sono troppo generici per assicurare la coerenza della teoria che descriveremo. Tali definizioni sono comunque sufficienti per effettuare un’analisi superficiale delle idee della logica dei predicati.

Esempio 1: Consideriamo i seguenti predicati:

  • $p_1$: “essere un numero pari”;
  • $p_2$: “essere un numero primo”;
  • \(>\;\): “essere maggiore di”.

Consideriamo inoltre il seguente insieme di variabili: $A={2,3,4,5,6}$.
Per le variabili $2,4$ e $6$ il primo predicato è certamente verificato, quindi potremo scrivere che $p_1(2),p_1(4)$ e $p_1(6)$; allo stesso modo potremo scrivere $p_{2}(2),p_{2}(3)$ e $p_{2}(5)$, essendo tali variabili tre numeri primi. Non è lecito ad esempio scrivere $p_{1}(3)$, poiché per la variabile $x=3$ non vale il predicato $p_{1}$.

Il predicato che abbiamo indicato con il simbolo \(>\;\) è binario: ciò significa che si riferisce a due variabili contemporaneamente. Potremo allora dire che $>(5,2$, per intendere che per le due variabili $x=5$ e $y=2$ vale il predicato \(>\;\), cioè che 5 è maggiore di 2. È prassi comune nel caso dei predicati binari preferire il simbolo $5>2$ al simbolo $>(5,2)$, che pure ha lo stesso significato.

Osservazione 2: Capita spesso in logica dei predicati di voler asserire in termini matematici che un certo predicato è verificato per tutti gli elementi di un determinato insieme, oppure che in un prefissato insieme esiste un elemento per cui vale un certo predicato. A questo proposito si adoperano le due definizioni seguenti.

Definizione 3: Quantificatore universale.
Il simbolo \(\forall\;\) prende il nome di quantificatore universale. Se sono prefissati un insieme $A$ e un predicato $p$, esso si può utilizzare per scrivere la formula $\forall x\in A,p(x)$ che si legge “per ogni $x$ appartenente ad $A$ vale (o risulta) $p(x)$”. Tale formula indica che la proprietà espressa dal predicato $p$ è verificata da tutti gli elementi dell’insieme di variabili $A$.

Osservazione 3: A volte si vuole essere ancora più precisi, e dire che esiste uno e un solo elemento dell’insieme $A$ che verifica il predicato $p$. Tale eventialità si esprime con la formula \(\exists!x\in A:p(x)\), dove il punto esclamativo \(!\;\) si legge appunto “uno e un solo”.

Esempio 2: Si considerino le tre seguenti proposizioni:

  • Tutti i numeri naturali sono interi;
  • Esiste almeno un numero naturale che è un quadrato perfetto;
  • Esiste esattamente un numero pari che è primo.

Siano $N$ l’insieme dei numeri naturali, $P$ l’insieme dei numeri pari, $Z$ il predicato “essere un numero intero”, $q$ il predicato “essere un quadrato perfetto” e infine il predicato “essere un numero primo”. Allora le tre proposizioni date si scrivono nei modi seguenti:
\[
\begin{array}{ccc}
\forall x\in \mathbb{N},z(x), & \exists x\in N:q(x), & \exists!x\in P:p(x)
\end{array}
\]

 

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