La Logica dei predicati: definizioni ed esempi

Mentre la logica proposizionale si occupa di studiare i rapporti di verit che intercorrono tra le varie proposizioni, la logica dei predicati riguarda la composizione e la struttura interna delle proposizioni stesse. Essa si basa sule definizioni seguenti.

Definizioni

Definizione 1: Variabile.
In logica dei predicati si chiama variabile qualsiasi ente per cui abbia senso dire che una determinata propriet vale o meno. Le variabili vengono normalmente indicate con le lettere

Definizione 2: Predicato.
In logica dei predicati si chiama predicato una qualsiasi propriet che possa o meno valere per una variabile o per un gruppo di variabili.

I predicati vengono indicati con vari simboli a seconda delle necessit; il simbolo generico

, e per dire che la variabile verifica il predicato si usa il simbolo .

Osservazione 1: Le definizioni 1 e 2 di variabile e predicato cos come le abbiamo date sono estremamente naive, e danno luogo a numerosi paradossi; esse si basano infatti sui concetti supposti primitivi di ente e propriet, che in realt sono troppo generici per assicurare la coerenza della teoria che descriveremo. Tali definizioni sono comunque sufficienti per effettuare unanalisi superficiale delle idee della logica dei predicati.

Esempio 1: Consideriamo i seguenti predicati:

• [math]p_1[/math]
  : essere un numero pari;
• [math]p_2[/math]
  : essere un numero primo;
• (>;): essere maggiore di.

Consideriamo inoltre il seguente insieme di variabili: .
Per le variabili e il primo predicato certamente verificato, quindi potremo scrivere che e ; allo stesso modo potremo scrivere e , essendo tali variabili tre numeri primi. Non lecito ad esempio scrivere , poich per la variabile non vale il predicato .

Il predicato che abbiamo indicato con il simbolo (>;) binario: ci significa che si riferisce a due variabili contemporaneamente. Potremo allora dire che

, per intendere che per le due variabili e vale il predicato (>;), cio che 5 maggiore di 2. prassi comune nel caso dei predicati binari preferire il simbolo al simbolo , che pure ha lo stesso significato.

Osservazione 2: Capita spesso in logica dei predicati di voler asserire in termini matematici che un certo predicato verificato per tutti gli elementi di un determinato insieme, oppure che in un prefissato insieme esiste un elemento per cui vale un certo predicato. A questo proposito si adoperano le due definizioni seguenti.

Definizione 3: Quantificatore universale.
Il simbolo (forall;) prende il nome di quantificatore universale. Se sono prefissati un insieme

e un predicato , esso si pu utilizzare per scrivere la formula che si legge per ogni appartenente ad vale (o risulta) . Tale formula indica che la propriet espressa dal predicato verificata da tutti gli elementi dellinsieme di variabili .

Osservazione 3: A volte si vuole essere ancora pi precisi, e dire che esiste uno e un solo elemento dellinsieme

che verifica il predicato . Tale eventialit si esprime con la formula (exists!xin A:p(x)), dove il punto esclamativo (!;) si legge appunto uno e un solo.

Esempio 2: Si considerino le tre seguenti proposizioni:

• Tutti i numeri naturali sono interi;
• Esiste almeno un numero naturale che un quadrato perfetto;
• Esiste esattamente un numero pari che primo.

Siano linsieme dei numeri naturali, linsieme dei numeri pari, il predicato essere un numero intero, il predicato essere un quadrato perfetto e infine il predicato essere un numero primo. Allora le tre proposizioni date si scrivono nei modi seguenti:
[
egin{array}{ccc}
forall xin mathbb{N},z(x),&exists xin N:q(x),&exists!xin P:p(x)
end{array}
]