Formulazione
Le leggi di De Morgan sono due importanti teoremi di Logica proposizionale attraverso i quali possibile trasformare la congiunzione nella disgiunzione e viceversa. Esse sono date, nella versione pi semplice possibile, dalle formule seguenti:Prima legge di De Morgan: Siano
Seconda legge di De Morgan: Siano
Osservazione 1: Le leggi di De Morgan dicono, in buona sostanza, che la negazione della congiunzione è la disgiunzione, e viceversa. Naturalmente questo è solo un modo intuitivo di esprimere le precedenti formule, in quanto in Logica proposizionale non ha alcun senso negare un operatore.
Dimostrazioni
A titolo d'esempio, dimostreremo la prima delle due leggi di De Morgan nel solito modo delle tavole di verità, e poi faremo vedere come la seconda di esse possa essere ricavata dalla prima adoperando le proprietà elementari degli operatori che ci sono già note.Dimostrazione della prima legge di De Morgan: Siano
Calcoliamo allo stesso tempo la congiunzione della terza colonna e le due negazioni delle colonne numero sei e nove:
Quindi, calcoliamo la negazione della prima colonna e la disgiunzione dell'ottava, e concludiamo infine il calcolo trovando i valori di verità relativi alla doppia implicazione:
Poiché la formula una tautologia, essa verificata in tutte le interpretazioni ed dunque una legge logica, proprio come volevamo dimostrare.
Dimostrazione della seconda legge di De Morgan: Siano
[/math]
Se queste espressione logica è, come è, una tautologia, allora i due termini separati dalla doppia implicazione hanno gli stessi valori di verità in tutte le interpretazioni. Se neghiamo entrambi i termini, i loro valori di verità risulteranno tutti invertiti, e quindi ancora uguali tra di loro. Anche la seguente formula è perciò una tautologia:
[/math]
A questo punto ricordiamo che due negazioni applicate in sequenza ad una proposizione equivalgono alla proposizione stessa non negata. Ne consegue che
Ulteriori osservazioni
Osservazione 2: Supponiamo di avere
\begin{array}{cc}
\displaystyle\overline{\bigwedge_{i=1}^n p_{i}}\leftrightarrow\displaystyle\bigvee_{i=1}^n\overline{p_{i}}, & \displaystyle\overline{\bigvee_{i=1}^n p_{i}}\leftrightarrow\displaystyle\bigwedge_{i=1}^n\overline{p_{i}}
\end{array}
[/math]
Osservazione 3: Le leggi De Morgan si estendono anc he alla Teoria degli Insiemi. Siano
\begin{array}{cc}
\displaystyle\complement(A\cap B)=\complement A\cup\complement B, &
\displaystyle\complement(A\cup B)=\complement A\cap\complement B
\end{array}
[/math]
Ci indica che la validità delle leggi di De Morgan non dipende dal fatto che si stia parlando di proposizioni logiche o di insiemi, ma solo dalla struttura in cui tutti questi vari enti sono organizzati.