Esempi
Esempio 1: Si dica quali dei seguenti ragionamenti derivano da applicazioni corrette del Modus ponens, identificando le proposizioni in esame.- Se accendi la luce potr leggere. Hai acceso la luce. Dunque posso leggere.
- Se accendi la luce potr leggere. Posso leggere. Dunque hai acceso la luce.
- Se non accendi la luce, non potr leggere. Hai acceso la luce. Dunque posso leggere.
[math]a[/math]
: accendi la luce e [math]b[/math]
: posso leggere le due proposizioni di cui si parla nelle varie affermazioni in esame. Ricordiamo la regola del Modus ponens:[
frac{p, p o q}{ herefore q}
]
A questo punto non resta che capire, in ognuno dei tre ragionamenti suddetti, quali sono le premesse e quali le conclusioni. Il primo di essi asserisce che
[math][(a\to b)wedge a]\to b[/math]
, che esattamente quanto affermato dal Modus ponens, a patto di porre [math]a=p[/math]
e [math]b=q[/math]
.Il secondo ragionamento, scritto in termini matematici, diventa invece
[math][(a\to b)wedge b]\to a[/math]
. Tale scrittura non corrisponde al Modus ponens, nemmeno se poniamo al contrario di prima [math]a=q[/math]
e [math]b=p[/math]
; ci dovuto al fatto che la direzione dellimplicazione fornita per ipotesi, da [math]a[/math]
a [math]b[/math]
, rimane fissata.Passiamo adesso allultimo ragionamento, che in formule si scrive
[math][(overli
e{a}\tooverli
e{b})wedge a]\to b[/math]
. Neppure questo caso unapplicazione corretta del Modus ponens: se infatti ricordiamo la propriet di contrapposizione dellimplicazione, scopriamo che si pu scrivere e{a}\tooverli
e{b})wedge a]\to b[/math]
[math][(b\to a)wedge a]\to b[/math]
, ma questa scrittura formalmente identica a quella del caso due, a patto di scambiare [math]a[/math]
e [math]b[/math]
. Siccome il ragionamento di prima era sbagliato, anche questo lo .
Esempio 2: Si dica quali dei seguenti ragionamenti derivano da applicazioni corrette del Modus tollens, identificando le proposizioni in esame.
- Se studio sar promosso. Non ho studiato. Dunque non sono stato promosso.
- Se studio sar promosso. Non sono stato promosso. Dunque non ho studiato.
- Se non studio non sar promosso. Ho studiato. Dunque sono stato promosso.
[math]a[/math]
: studio e [math]b[/math]
: sono promosso le due proposizioni citate nei tre ragionamenti. Scriviamo la regola relativa al Modus tollens:[
frac{overline{q},p o q}{ hereforeoverline{p}}
]
Nel primo caso certamente abbiamo
[math]a\to b[/math]
, ma dal momento che laltra premessa [math]overli
e{a}[/math]
, non siamo autorizzati a dedurre e{a}[/math]
[math]overli
e{b}[/math]
. Il Modus tollens non stato quindi applicato correttamente; daltra parte, anche da un punto di vista intuitivo, concepibile che si venga promossi anche senza aver studiato, magari per un colpo di fortuna. Non per lecito in ambito matematico fare dei ragionamenti del genere, poich non sono rigorosi.e{b}[/math]
Nel secondo caso abbiamo ancora la stessa implicazione che avevamo nel primo, ma stavolta laltra premessa
[math]overli
e{b}[/math]
, come richiesto dal Modus tollens; allora sensato dedurre e{b}[/math]
[math]overli
e{a}[/math]
, come nellesempio considerato.e{a}[/math]
Quanto affermato dallultimo ragionamento, in formule, che
[math][(overli
e{a}\tooverli
e{b})wedge a]\to b[/math]
. Questa scrittura, malgrado adesso le si dia un significato diverso, evidenzia la stessa struttura dellesempio 1.3, e dunque non un ragionamento valido, n come Modus ponens n tantomeno come Modus tollens.e{a}\tooverli
e{b})wedge a]\to b[/math]
Esempio 3: Si dica quali dei seguenti ragionamenti sono sillogismi corretti, identificando le proposizioni in esame.
- Se studier, sar promosso. Se sar promosso, andr in vacanza. Ne consegue che se studier, andr in vacanza.
- Se non studier, non sar promosso. Se non sar promosso, non andr in vacanza. Dunque se studier, andr in vacanza.
[math]a[/math]
: studier, [math]b[/math]
: sar promosso e [math]c[/math]
: andr in vacanza. Il sillogismo funziona nel modo seguente:[
frac{p o q, q o r}{ herefore p o r}
]
Scriviamo in termini matematici il primo ragionamento: esso corrisponde a
[math][(a\to b)wedge(b\to c)]\to(a\to c)[/math]
, ed ha esattamente la struttura di un sillogismo una volta dopo aver posto [math]a=p[/math]
, [math]b=q[/math]
, [math]c=r[/math]
.Il secondo ragionamento tradotto in formule assume la forma
[math][(overli
e{a}\to overli
e{b})wedge(overli
e{b}\tooverli
e{c})]\to(a\to c)[/math]
. La prima parte indubbiamente adatta a formare le premesse di un sillogismo, ma la conclusione cui si pu giungere da esse e{a}\to overli
e{b})wedge(overli
e{b}\tooverli
e{c})]\to(a\to c)[/math]
[math](overli
e{a}\tooverli
e{c})[/math]
, ovverosia e{a}\tooverli
e{c})[/math]
[math](c\to a)[/math]
, e non come si voleva [math](a\to c)[/math]
. Quindi questo esempio non costituisce un vero sillogismo; lo sarebbe stato qualora come conclusione avessimo avuto Dunque se andr in vacanza, avr studiato.
