Operatori logici fondamentali

Così come i numeri possono essere combinati attraverso le quattro operazioni aritmetiche, le proposizioni logiche possono essere combinate attraverso gli operatori logici. I principali operatori sono la negazione, la congiunzione e la disgiunzione.

Definizioni

Definizione 1: Interpretazione.
Siano date $n$ proposizioni $p_{1},p_{2},…,p_{3}$ . Una interpretazione $I$ di tali proposizioni è un qualsiasi elemento di $(V,F)^n$, ovvero una qualsiasi -upla costituita solo da $V$ e $F$.

Definizione 2: Proposizione vera (o falsa) in una interpretazione.
Siano date $n$ proposizioni $p_{1},p_{2},…,p_{n}$ ed una loro interpretazione $I$. Per ogni $i\in1,…,n$, \(\; p_{i}\) è vera (o falsa) nell’interpretazione $I$ se e solo se l’$i$-esimo elemento di $I$ è V (o F).

Osservazione 1: Stanti le definizioni 1 e 2, una tautologia risulta essere null’altro che una proposizione che risulta vera in tutte le possibili interpretazioni; similmente, una contraddizione è una proposizione falsa in tutte le possibili interpretazioni.

Definizione 3: Negazione.
Sia data una proposizione $p$. Si chiama negazione di $p$ e si indica con il simbolo \(\overline{p}\) (che si legge non-p) la proposizione i cui valori di verità sono opposti a quelli di $p$ in tutte le possibili interpretazioni.

Osservazione 2: Se in una determinata interpretazione $I$ la proposizione $p$ risulta vera, allora \(\overline{p}\) è falsa, e viceversa. Tutte le eventualità vengono riassunte nella tabella seguente, detta “tavola di verità della negazione”; in essa, ogni riga orizzontale corrisponde ad una interpretazione $I$ differente:
\[
\displaystyle
\boxed{
\begin{array}{c|c}
p & \overline{p} \\
\hline
V & F \\
F & V
\end{array}
}
\]

Definizione 4: Congiunzione.
Siano date due proposizioni $p$ e $q$. Si chiama congiunzione di $p$ e $q$ e si indica con il simbolo $p \vee q$ (che si legge p et q) la proposizione che risulta essere vera se e solo se $p$ e $q$ sono entrambe vere.

Osservazione 3: Dal momento che le proposizioni in gioco adesso sono due, per esse esistono $2^2=4$ diverse interpretazioni: esse sono $(V,V), (V,F), (F,V), (F,F)$. I valori di verità assunti dalla congiunzione logica di $p$ e $q$ nelle varie interpretazioni sono riassunti dalla seguente “tavola di verità della congiunzione”:
\[
\displaystyle
\boxed{
\begin{array}{c|c|c}
p & q & p \wedge q \\
\hline
V & V & V \\
V & F & F \\
F & V & F \\
F & F & F
\end{array}
}
\]

Definizione 5: Disgiunzione.

Siano date due proposizioni $p$ e $q$. Si chiama disgiunzione di $p$ e $q$ e si indica con il simbolo $p \lor q$ (che si legge p vel q) la proposizione che risulta essere falsa se e solo se $p$ e $q$ sono entrambe false.

Osservazione 4: Anche questa volta le proposizioni in gioco sono due, e quindi esse sono soggette alle 4 diverse interpretazioni $(V,V), (V,F), (F,V), (F,F)$. I valori di verità assunti dalla disgiunzione logica di $p$ e $q$ al variare delle interpretazioni sono riassunti dalla seguente “tavola di verità della disgiunzione”:
\[
\displaystyle
\boxed{
\begin{array}{c|c|c}
p & q & p \lor q \\
\hline
V & V & V \\
V & F & V \\
F & V & V \\
F & F & F
\end{array}
}
\]

 

Esempi

Vediamo adesso quali sono i significati intuitivi dei tre operatori suddetti, attraverso alcuni esempi applicativi.
Esempio 1: Si consideri la proposizione $p$ “Marco è più alto di un metro e mezzo”. A che proposizione corrisponde \(\overline{p}\;\)?
In questo semplice esempio, vediamo che per ottenere la negazione logica di una data proposizione è sufficiente contraddire quanto da essa affermato. Ne consegue allora che \(\overline{p}\): “L’altezza di Marco è minore o uguale a un metro e mezzo”. Si osservi che, come atteso, $p$ è vera se e soltanto se \(\overline{p}\) è falsa.

Esempio 2: Si considerino le proposizioni seguenti:
$p$: “In questo momento è più tardi delle 8.00”;
$q$: “In questo momento è più presto delle 7.00”.
A che proposizione corrisponde la congiunzione logica di $p$ e $q$, cioè \(p\wedge q\;\)?
In tal caso basta associare le due proposizioni con la “e” nel senso di “e allo stesso tempo”; ne risulta la proposizione $p \wedge q$ “In questo momento è più tardi delle 8.00 e più presto delle 7.00”. Incidentalmente, dal momento che non esiste un’interpretazione nella quale $p$ e $q$ siano vere contemporaneamente, tale proposizione è sempre falsa e dunque è una contraddizione.

Esempio 3: Si considerino le proposizioni seguenti:
$p$: “In questo momento è più tardi delle 7.00”;
$q$: “In questo momento è più presto delle 8.00”.
A che proposizione corrisponde la disgiunzione logica di $p$ e $q$, cioè \(p\vee q\;\)?
Per la disgiunzione occorre associare le due proposizioni con la “o” nel senso di “una, oppure l’altra, oppure entrambe”; il risultato è la proposizione $p \wedge q$ “In questo momento è più tardi delle 7.00 o più presto delle 8.00”. Incidentalmente, dal momento che qualsiasi orario è tale da essere prima delle 8.00 oppure dopo le 7.00, non esiste alcuna interpretazione nella quale $p$ e $q$ siano false contemporaneamente; ne consegue che tale proposizione è sempre vera e dunque è una tautologia.

Osservazione 5: Notiamo anche, per concludere, che la negazione logica di una tautologia è una contraddizione, e viceversa.

 

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